【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二：应力应变分析(2)-程序员宅基地
1.4 主应力空间、八面体应力
一点的应力状态不论如何变化，其主应力和主方向一致的话，该点的应力状态就是唯一确定的。因此，我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性，该坐标系如下图4，我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体，图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) (p_1,p_2,p_3) (p1,p2,p3)，八面体为等倾面八面体，即面ABC的法线方向余弦为 ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (31,31,31)。将O’P分解
O ’ P ‾ = O ’ Q ‾ + O ’ N ‾ (25) \overline {O’P}=\overline {O’Q}+\overline{O’N}\tag{25} O’P=O’Q+O’N(25)
图 4 八面体 图4八面体 图4八面体
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象，如下图5所示。
图 5 等倾面四面体 图5等倾面四面体 图5等倾面四面体
根据斜面应力公式 p j = σ i j n i p_j=\sigma_{ij}n_i pj=σijni，不难得到以下关系式（矩阵形式）
[ p 1 p 2 p 3 ] = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 2 ] [ n 1 n 2 n 3 ] (26) \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0\\ 0 & \sigma_2 & 0 \\0 & 0 & \sigma_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{bmatrix}\tag{26}
p1p2p3
=
σ1000σ2000σ2
n1n2n3
(26)
其中 ( n 1 , n 2 , n 3 ) = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (n_1 ,n_2,n_3)=(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (n1,n2,n3)=(31,31,31)为等倾面的法线方向余弦。
那么，有
σ 8 = [ n 1 n 2 n 3 ] [ p 1 p 2 p 3 ] = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 3 I 1 (27) \sigma_8 = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\frac{1}{3}I_1 \tag{27} σ8=[n1n2n3]
p1p2p3
=σ1n12+σ2n22+σ3n32=31(σ1+σ2+σ3)=31I1(27)
八面体相应的剪应力为
τ 8 = p 2 − σ 8 2 = p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = 1 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − 1 9 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 = 1 3 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 + 2 σ 1 σ 2 + 2 σ 1 σ 3 + 2 σ 2 σ 3 ) = 1 3 ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 = 2 3 J 2 = 1 3 s i j s i j (28) \tau_8 = \sqrt{p^2-\sigma_8^2}=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\sigma_1^2n_1^2+\sigma_2^2n_2^2+\sigma_3^2n_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\frac{1}{3}(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-\frac{1}{9}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{3(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2+2\sigma_1\sigma_3+2\sigma_2\sigma_3)}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}J_2}=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} \tag{28} τ8=p2−σ82=p12+p22+p32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2=σ12n12+σ22n22+σ32n32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2=31(σ12+σ22+σ32)−91(σ1+σ2+σ3)2=313(σ12+σ22+σ32)−(σ12+σ22+σ32+2σ1σ2+2σ1σ3+2σ2σ3)=31(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2=32J2=31sijsij(28)
1.5 应变分析
应变分析的内容同应力分析内容，只是注意一点，应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的，定义如下。
[ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] = [ ε x x 1 2 γ y x 1 2 γ z x 1 2 γ x y ε y y 1 2 γ z y 1 2 γ x z 1 2 γ y z ε z z ] (29) \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \frac{1}{2}\gamma_{zx}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{zy}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{29}
εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz
=
εxx21γxy21γxz21γyxεyy21γyz21γzx21γzyεzz
(29)
同样定义应变偏张量，有如下形式
[ e x x e y x e z x e x y e y y e z y e x z e y z e z z ] = [ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] − [ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m ] (30) \begin{bmatrix} e_{xx} & e_{yx} & e_{zx}\\ e_{xy} & e_{yy} & e_{zy}\\ e_{xz} & e_{yz} & e_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \varepsilon_{m} & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_{m} & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_{m} \end{bmatrix}\tag{30}
exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz
=
εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz
−
εm000εm000εm
(30)
其中 ε m = 1 3 ( ε x x + ε y y + ε z z ) \varepsilon_{m}=\frac{1}{3}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) εm=31(εxx+εyy+εzz)
1.6 特殊应力、应变定义
定义应力强度或等效应力 σ ‾ \overline\sigma σ为
σ ‾ = 3 J 2 = 3 2 s i j s i j = 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 ] = 1 2 [ ( σ x x − σ y y ) 2 + ( σ x x − σ z z ) 2 + ( σ y y − σ z z ) 2 + 6 ( τ x z 2 + τ x y 2 + τ y z 2 ) ] (31) \overline\sigma=\sqrt{3J_2}=\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2+(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2+6(\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2)]} \tag{31} σ=3J2=23sijsij=21[(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2]=21[(σxx−σyy)2+(σxx−σzz)2+(σyy−σzz)2+6(τxz2+τxy2+τyz2)](31)
定义应变强度或等效应变 ε ‾ \overline \varepsilon ε为
ε ‾ = 2 3 e i j e i j (32) \overline \varepsilon=\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} \tag{32} ε=32eijeij(32)
定义剪切等效应力 T ‾ \overline T T为
T ‾ = 1 2 s i j s i j (33) \overline T=\sqrt{\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} \tag{33} T=21sijsij(33)
定义剪切等效应变 Γ ‾ \overline\Gamma Γ为
Γ ‾ = 2 e i j e i j (34) \overline\Gamma=\sqrt{2e_{ij}e_{ij}} \tag{34} Γ=2eijeij(34)
加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变
τ 8 = 1 3 s i j s i j γ 8 = 4 3 e i j e i j (35) \tau_8=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\\ \gamma_8=\sqrt{\frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}\tag{35} τ8=31sijsijγ8=34eijeij(35)
至于为什么定义这些应力应变，我们在后面再介绍。
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