技术标签: # M3. 实战python算法 Sigmoid函数 机器学习 交叉熵损失函数 分类算法 逻辑回归算法
可以答作用:
用于分类的回归算法,被广泛用于估算一个实例属于某个特定类别的概率。
比如:
如果预估概率超过50%,则模型预测该实例属于该类别(称为正类,标记为“1”),反之,则预测不是;也就是负类,标记为“0”。这样它就成了一个二分类器。
逻辑回归处理的常见的时二分类或二项分布问题,也可以处理多分类问题。
逻辑回归不仅能够进行分类,而且还能够获取属于该类别的概率。这在现实中是非常实用的。
注意:逻辑回归,我们不要被其名字所误导,实际上,逻辑回归是一个分类算法!
逻辑回归实现分类的思想为:
将每条样本进行“打分”,然后设置一个阈值,达到这个阈值的,分为一个类别,而没有达到这个阈值的,分为另外一个类别。
(打分,阈值)
对于阈值,比较随意,划分为哪个类别都可以,但是,要保证阈值划分的一致性。
直接举两个例子:
eg. 学生的成绩,分数是连续值,然后根据分数分类成优良差。
分类算法,可以说是基于线性回归基础上进行的分类。
需要对每一个样本进行打分,打分后,以一个点进行分割,高于这个点的,算一个类别。以一个中间点,作为分类 。
eg. 学生考试,只知道能考上 ,不知道考上的概率是多少?
只是进行了分类,少了信心指数,少了衡量这种类别多大的可能。以分数是60作为分界,分数是100也是优等,分数是60也是优等,但是100是优等的可能性肯定是大于分数是60的可能性。
采用最大似然估计的方法,求出损失函数
二分类问题的概率与自变量之间的关系图形往往是一个S形曲线,常采用数学上的Sigmoid函数实现,其函数定义如下
逻辑回归来源于线性回归。
对于逻辑回归,模型的前面与线性回归类似:
所以,逻辑回归虽然是分类,但回归也不是白叫的,有回归的成分。
不过,z的值是一个连续的值(z就是对样本的打分,就是线性回归的连续值的输出),取值范围为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty , +\infty) (−∞,+∞)我们需要将其转换为概率值,逻辑回归使用sigmoid函数来实现转换,该函数的原型为:
s i g m o i d ( z ) = 1 1 + e − z sigmoid(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} sigmoid(z)=1+e−z1
why引入sigmoid函数 ?
我们想让这个z更直观,变成概率[0,1]之间
当z的值从 − ∞ -\infty −∞向 + ∞ +\infty +∞过度时,sigmoid函数的取值范围为[0, 1],这正好是概率的取值范围,当 z = 0 z=0 z=0时,sigmoid(0)的值为0.5。因此,模型就可以将sigmoid的输出p作为正例的概率,而1 - p作为负例的概率。以阈值0.5作为两个分类的标准,假设真实的分类y的值为1与0,则:
以上3个关于y_hat的表达式都是一个意思
z不是以一个有直观意义的分值,而是通过sigmoid转化为与概率相同的区间。
对于 0-1 型变量, y=1的概率分布公式定义如下:
P( y = 1) = p
对应的 y = 0 的概率分布公式定义如下:
P( y = 0) = 1 - p
如果采用线性模型进行分析,其公式变换如下:
P( y = 1 | x) = θ0 + θ1x1+ θ2x2 +…+ θnxn
实际应用中,概率p与因变量往往是非线性的,为了解决该类问题,可以引入logit变换,使logit§与自变量之间存在线性相关的关系,逻辑回归模型定义如下:
现在,我们通过Python程序来绘制sigmoid函数在[-10, 10]区间的图像。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义sigmoid函数的原型。作为绘图的y值
def sigmoid(a):
return 1/(1+np.exp(-a))
# 定义 a或者z,作为绘图的值
a = np.linspace(-10, 10, 100)
plt.plot(a, sigmoid(a))
# 绘制垂直线
plt.axvline(x=0, ls='dashed', c='k')
plt.axvline(x=-10, ls='dashed', c='k')
plt.axvline(x=10, ls='dashed', c='k')
# 绘制水平线
plt.axhline(y=0.0, ls='dotted', c='k')
plt.axhline(y=0.5, ls="dotted", c="k")
plt.axhline(y=1, ls="dotted", c="k")
np.exp(100)
# 以自然常数e为底的指数函数
# numpy.exp():返回e的幂次方,e是一个常数为2.71828
# 2.6881171418161356e+43
根据之前的介绍,我们可以将类别y(1与0)的概率表示如下(这里使用s代表sigmoid函数):
综合式子
p ( y ∣ x ; w ) = s ( z ) y ( 1 − s ( z ) ) 1 − y p(y|x;w) = s(z)^y(1 - s(z))^{1-y} p(y∣x;w)=s(z)y(1−s(z))1−y
以上是一个样本的概率,我们要求解能够使所有样本联合密度最大的w值,因此,根据极大似然估计,所有样本的联合概率密度函数(即似然函数)为:
L ( w ) = ∏ i = 1 m p ( y ( i ) ∣ x ( i ) ; w ) = ∏ i = 1 m s ( z ( i ) ) y ( i ) ( 1 − s ( z ( i ) ) ) 1 − y ( i ) L(w) = \prod_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};w)\\ = \prod_{i=1}^{m}s(z^{(i)})^{y^{(i)}}(1 - s(z^{(i)}))^{1-y^{(i)}} L(w)=∏i=1mp(y(i)∣x(i);w)=∏i=1ms(z(i))y(i)(1−s(z(i)))1−y(i)
为了方便求解,我们取对数似然函数,让累计乘积变成累计求和:
我们要使得上式的值最大(概率最大),可以采用梯度上升的方式。
不过,这里我们为了引入损失函数的概念,我们采用相反的方式,即只需要使得该值的相反数最小即可,因此,我们可以将上式的相反数作为逻辑回归的损失函数(交叉熵损失函数):
交叉熵:取对数,然后取负数,目的是为了平滑和直观
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