目录

一.邻接矩阵

1.无向图​编辑

2.有向图

补充：网（有权图）的邻接矩阵表示法

二.邻接表

1.无向图

2.有向图

三.邻接矩阵与邻接表的关系

---

一.邻接矩阵

1.无向图

（1）对角线上是每一个顶点与自身之间的关系，没有到自身的边，所以对角线上为0

（2）无向图的邻接矩阵是对称的

两个顶点之间如果有边的话，那么两个顶点互为邻接关系，值为1

（3）顶点i的度=第i行（列）中1的个数

注：完全图的邻接矩阵，对角元素为0，其余为1

2.有向图

（1）在有向图的邻接矩阵中

第i行含义：以结点为尾的弧（即出度边）

顶点的出度=第i行元素之和

第i列含义：以结点为头的弧（即入度边）

顶点的入度=第i列元素之和

顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和

（2）有向图的邻接矩阵可能是不对称的

补充：网（有权图）的邻接矩阵表示法

邻接矩阵存储

#define MaxInt 32767
#define MVNum 100    //最大顶点数
typedef char VerTexType;    //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;    //假设边的权值类型为整型

typedef struct{
    VerTex vex[MVNum];    //顶点表
    ArcType arcs[MVNum][MVNum];    //邻接矩阵
    int vexnum,arcnum;    //图的当前点数和边数
}AMGraph;

 以无向网为例

int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次
    {
        if(u==G.vexs[i])
            return i;
        return -1;
    }
}

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
        G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w
    }
    return OK;
}

无向图，有向网,有向图与无向网是类似的

•对于无向图而言，其与无向网相比没有权值

初始化邻接矩阵时，w=0 ，构建邻接矩阵时，w=1

Status CreateUDG(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点
        int w=1;//1表示连接、0表示无连接
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
        G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w
    }
    return OK;
}

•对于有向网而言，与无向网不同的是，其每一条弧，都是从一个顶点指向另外一个顶点的

仅为G.arcs[i][j]赋值，不为G.arcs[j][i]赋值

Status CreateDN(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
    }
    return OK;
}

•对于有向图而言，只需要将无向图和有向网的修改结合一下就行

没有权值，连接两个顶点的边是弧 

Status CreateDG(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点
        int w=1;//1表示连接、0表示无连接
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
    }
    return OK;
}

邻接矩阵的优点

 

•方便检查任意一对顶点间是否存在边

•方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）

•方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)

        •无向图:对应行 (或列)非0元素的个数

        •有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度

邻接矩阵的缺点

•不便于增加和删除顶点

•邻接矩阵的空间复杂度为O(),跟其有的边的条数无关，只与其顶点数有关，无论边少还是边多，空间复杂度都为O()，浪费空间----存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素

•浪费时间----统计稀疏图中一共有多少条边，因为必须遍历所有元素

二.邻接表

1.无向图

顶点：按编号顺序存储在一维数组中

这里的一维数组和邻接矩阵中的一维数组不同，数组中每个元素有两个成员

第一个是数据元素的信息，第二个是指针，存储的是第一个边的地址

关联同一顶点的边：用线性链表存储,例如3，表示邻接的顶点是下标为3的元素（v4）

如果有边\弧的信息，还可以在表结点中增加一项

第一个表示邻接点在顶点表中的序号

第二个元素是一个指针，指向的是下一条边（弧）

第三个元素表示边的信息（权值）

（1）邻接表是不唯一

例如“v1”指针指向的是邻接点v4和v2的下标，分别为3，1，这些边的顺序是可以改变的。

（2）若无向图中有n个顶点，e条边，则其邻接表需n个头结点和2e个表结点，适宜存储稀疏图。

使用每条边时会出现两次，从v1到v2和从v2到v1用的是同一条边，所以有e条边，就有2e个表结点

所以无向图的存储空间为O(n+2e):n表示点，2e表示边

有向图的存储空间为O(n+e)

注对于邻接矩阵而言，存储空间为O(),所以邻接表在存储稀疏图时比较节省空间

 （3）无向图中顶点的度为第i个单链表中的结点数

•顶点的存储结构

typedef struct VNode
{
	VerTexType data;         //顶点信息
	ArcNode *firstarc;       //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];
注:AdjList[MVNum]==VNnode v[MVNum]

•弧(边)的结点结构

#define MVNum 100                //最大顶点数
typedef struct ArcNode           //边结点
{
	int adjvex;                  //该边所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *nextarc;     //指向下一条边的指针
	OtherInfo info;              //和边相关的信息(权值等)
}ArcNode;

•图的结构定义

typedef struct
{
	AdjList vertices;      //存放各个顶点的数组
	int vexnum, arcnum;    //图的当前顶点数和弧数
}ALGraph;

•邻接表操作举例说明

ALGraph G;                    //定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5; G.arcnum = 6;   //图G中包含5个顶点，6条边
G.vertices[1].data = 'b';     //图G中的第2个顶点是b
p = G.vertices[1].firstarc;   //指针p指向顶点b的第一条边结点
p->adjvex = 4;                //指针p所指边结点是到下标为4的结点的边

2.有向图

（1）顶点的出度为第i个单链表中的结点个数

（2）顶点的入度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数

根据以上结论，可以看出对于这样的每一个顶点存储出度边的有向图而言，找出度是容易的，找入度则比较难，例如，找终点为v1的边，那么就需要遍历所有边结点，找到邻结点为0的入度边

 也可以每一个顶点存储其入度边，如下图：逆邻接表

和邻接表的结论相反：找入度容易，找出度难

（1）顶点的入度为第i个单链表中的结点个数

（2）顶点的出度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数

例题：画出该邻接表对应的网络图

结果如下

 

用邻接表创建无向图

int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次
    {
        if(u==G.vexs[i])
            return i;
        return -1;
    }
}

Status CreateUDG(ALGraph &G)
{
    int i, j, k;
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                            // 输入总顶点数，总边数
    for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)                          // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                          // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                      // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (k = 0; k < G.arcnum; ++k)                          // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;                                    // 输入一条边依附的两个顶点
        i = LocateVex(G, v1);
        j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p1 = new ArcNode;                           // 生成一个新的边结点*p1
        p1->adjvex = j;                                     // 邻接点序号为j
        p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc = p1;                         // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
        ArcNode* p2 = new ArcNode;                           // 生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                                     // 邻接点序号为i
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;                         // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

这里的头插法特别解释一下

p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;  
G.vertices[i].firstarc = p1;           //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)

用邻接表创建有向图

只需将边改为弧，将以下代码去掉

        p2 = new ArcNode;                      //生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                        //邻接点序号为i
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;           //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)

Status CreateDG(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                        // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                   // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                      // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                  // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                   // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;                                 // 输入一条边依附的两个顶点
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p = new ArcNode;                         // 生成一个新的边结点*p
        p->adjvex = j;                                   // 邻接点序号为j
        p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;             
        G.vertices[i].firstarc = p;                      // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 用邻接表创建有向网

只需加入weight（权重值即可）

cin >> v1 >> v2 >> weight;

p->info=weight;

Status CreateWeightedDN(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                        // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                   // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                      // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                  // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                   // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2, weight;
        cin >> v1 >> v2 >> weight;                       // 输入一条边依附的两个顶点和权值
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p = new ArcNode;                         // 生成一个新的边结点*p
        p->adjvex = j;                                   // 邻接点序号为j
        p->info = weight;                              // 边的权值为weight
        p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;             
        G.vertices[i].firstarc = p;                      // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 用邻接表创建无向网

只需在无向图的基础上加入weight（权重值即可）

cin >> v1 >> v2 >> weight;

p1->info=weight;

p2->info=weight;

Status CreateWeightedUDN(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                            // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                       // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                          // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                      // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                       // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2, weight;
        cin >> v1 >> v2 >> weight;                           // 输入一条边依附的两个顶点和权值
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p1 = new ArcNode;                            // 生成一个新的边结点*p1
        p1->adjvex = j;                                      // 邻接点序号为j
        p1->info = weight;                                 // 边的权值为weight
        p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc = p1;                         // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
        ArcNode* p2 = new ArcNode;                            // 生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                                      // 邻接点序号为i
        p2->info = weight;                                 // 边的权值为weight
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;                         // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 邻接表的特点

•方便找任一顶点的所有“邻接点”
•节约稀疏图的空间
        •需要N个头指针 + 2E个结点 (每个结点至少2个域)

•方便计算任一顶点的“度”
对无向图:是的
对有向图:只能计算“出度”需要构造"逆邻接表"(存指向自己的边)来方便计算"入度"

•不方便检查任意一对顶点间是否存在边

三.邻接矩阵与邻接表的关系

1.联系:邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数

2.区别:
①对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的 (行列号与顶点编号致)，但邻接表不唯一 (链接次序与顶点编号无关，与链接的算法有关（头插法或尾插法）)

②邻接矩阵的空间复杂度为O(）,而邻接表的空间复杂度为O(n+e),对于稀疏图而言，用邻接表的方式存储，空间复杂度更低。

3.用途：邻接矩阵多用于稠密图，邻接表多用于稀疏图。