关于空间计量模型，小编是通过阅读勒沙杰（James LeSage）和佩斯（R.Kelley Pace）合著的《空间计量经济学导论》（Introduction of Spatial Econometrics）入门的，但是当时着重的是理解这些模型，并没有用代码去实现。

作者也提供了书中模型的Matlab代码，可以在网站http://www.spatial-econometrics.com/（Econometrics Toolbox: by James P. LeSage）上查看。另外，作者之一的佩斯还有一个网站http://www.spatial-statistics.com/（Spatial Statistics Software and Articles）,上面有一些空间统计领域的Matlab工具箱和论文。

由于小编目前也在学习阶段，因此本篇只会使用R语言去实现这些模型的一些比较简单的形式，使用的工具包是spatialreg，后续可能会分享一些更复杂的内容。

模型形式

空间滞后模型

自回归模型（Autoregressive Model，AR）在时间序列分析中很易理解，即因变量与它的时间滞后值（Lag）存在相关性，这也意味着自回归模型放弃了因变量独立性的假设。

在空间计量模型中，空间滞后值被认为是邻近空间单元的属性（加权）值，因此下面是一个形式比较简单的空间自回归模型（最简单的形式应该是不包含自变量），也就是空间滞后模型（Spatial Lagged Model，SLR）：

• 空间自回归模型一般就是指空间滞后模型，但它也有一个更广义的概念，即所有包含因变量的空间滞后项的模型；

• 模型估计时会首先对参数进行估计，再使用广义最小二乘法估计和其他参数。

空间误差模型

空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）可以分解成如下两步：

上述两式合并得，

• 第一个式子并非线性模型，因为不需要服从正态分布；

• 模型估计时会首先对参数进行估计，再使用广义最小二乘法估计和其他参数。

空间杜宾模型

空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM）假定因变量取值除受本地自变量的影响外，还会受到邻近地区的自变量影响，即在模型中加入自变量的空间滞后值：

复合模型

上述三个模型各自有针对性的假设，但这些假设相互之间并不排斥，可以在同一个模型中存在。

• 空间自相关模型

• 该模型综合了空间滞后模型和空间误差模型，称作空间自相关模型（Spatial Autocorrelation Model，SAC）；

• 当或其中一个为0时，SAC就退化成了SEM或SLM。

• 空间杜宾（滞后）模型

• 该模型综合了空间滞后模型和空间杜宾模型，但习惯上仍称作是空间杜宾模型。

• 空间杜宾误差模型

• 该模型综合了空间误差模型和空间杜宾模型，称作空间杜宾误差模型（Spatial Durbin Error Model，SDEM）。

• 空间自相关杜宾模型

• 该模型是最一般的形式，同时综合了三种基本模型，也可以认为是综合了空间自相关模型和空间杜宾模型。

R语言代码

函数概述

上述7个模型形式可以通过spatialreg工具包中的3个函数来实现：

• lagsarlm()：空间滞后模型、空间杜宾（滞后）模型

• errorsarlm()：空间误差模型、空间杜宾误差模型

• sacsarlm()：空间自相关模型、空间自相关杜宾模型

线性模型

示例数据如下：

library(sf)
library(tidyverse)
usa <- albersusa::counties_sf(proj = "laea") %>%
  mutate(fips = as.character(fips)) %>%
  left_join(socviz::county_data, by = c("fips" = "id"))

因变量取收入，自变量取黑人比例。在运行空间计量模型前，先使用线性模型进行建模：

data <- st_drop_geometry(usa)
model <- lm(hh_income ~ black, data = data)

summary(model)
## Call:
## lm(formula = hh_income ~ black, data = data)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -27680  -7341  -2171   4653  76006 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 47765.53     244.55  195.32   <2e-16 ***
## black        -199.18      14.29  -13.94   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11570 on 3141 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.05825,    Adjusted R-squared:  0.05795 
## F-statistic: 194.3 on 1 and 3141 DF,  p-value: < 2.2e-16

莫兰指数

使用莫兰指数检验因变量的空间自相关性：

library(spdep)
nb <- poly2nb(usa)
listW <- nb2listw(nb, zero.policy = T)

moran.plot(usa$hh_income, listW,
           zero.policy = T,
           labels = F,
           pch = 20, cex = 0.1)

• 部分县没有邻接单元，设置zero.policy = T可以允许空间权重矩阵（实际空间数据结构是list）存在空元素。

空间计量模型

以lagsarlm()函数为例，它的完整语法结构如下：

lagsarlm(formula, data = list(),
         listw, na.action,
         Durbin, type,
         method="eigen", quiet=NULL,
         zero.policy=NULL, interval=NULL,
         tol.solve=.Machine$double.eps,
         trs=NULL, control=list())

本篇仅涉及以下几个参数，其余参数使用...代替：

lagsarlm(formula, data = list(),
         listw, Durbin,
         zero.policy = NULL,
         ...,)

• formula：与对应的线性模型的表达式一致；

• data：变量所在的数据框；

• listw：空间权重矩阵；

• Durbin：是否在模型中加入自变量的空间滞后值；

• zero.policy：针对权重矩阵存在空元素的应对方案，TRUE表示对应的空间滞后的权重为0。

• 空间滞后模型

library(spatialreg)
sl_model <- lagsarlm(hh_income ~ black, data = data,
                     listw = listW, zero.policy = T)

summary(sl_model)
## Call:lagsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW, 
##     zero.policy = T)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -26914.4  -4772.3  -1298.9   2996.4  72040.0 
## 
## Type: lag 
## Regions with no neighbours included:
##  2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143 
## Coefficients: (numerical Hessian approximate standard errors) 
##              Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)
## (Intercept) 14401.438    628.923  22.899 < 2.2e-16
## black        -121.955     10.236 -11.915 < 2.2e-16
## 
## Rho: 0.71234, LR test value: 1783.5, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.012906
##     z-value: 55.195, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 3046.5, p-value: < 2.22e-16
## 
## Log likelihood: -32973.68 for lag model
## ML residual variance (sigma squared): 67335000, (sigma: 8205.8)
## Number of observations: 3143 
## Number of parameters estimated: 4 
## AIC: 65955, (AIC for lm: 67737)

• 空间误差模型

library(spatialreg)
se_model <- errorsarlm(hh_income ~ black, data = data,
                       listw = listW, zero.policy = T)

summary(se_model)
## Call:errorsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW, 
##     zero.policy = T)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -30053.7  -4590.2  -1184.3   2843.3  56012.9 
## 
## Type: error 
## Regions with no neighbours included:
##  2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##              Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)
## (Intercept) 50696.822    725.463  69.882 < 2.2e-16
## black        -400.074     18.035 -22.183 < 2.2e-16
## 
## Lambda: 0.82333, LR test value: 2384.3, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.011128
##     z-value: 73.99, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 5474.5, p-value: < 2.22e-16
## 
## Log likelihood: -32673.29 for error model
## ML residual variance (sigma squared): 52510000, (sigma: 7246.4)
## Number of observations: 3143 
## Number of parameters estimated: 4 
## AIC: 65355, (AIC for lm: 67737)

• 空间杜宾误差模型

library(spatialreg)
sd_model <- errorsarlm(hh_income ~ black, data = data,
                       listw = listW, zero.policy = T,
                       Durbin = T)

summary(sd_model)
## Call:errorsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW, 
##     Durbin = T, zero.policy = T)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -29657.6  -4639.4  -1123.4   2817.7  56324.1 
## 
## Type: error 
## Regions with no neighbours included:
##  2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##              Estimate Std. Error  z value  Pr(>|z|)
## (Intercept) 48577.976    753.720  64.4509 < 2.2e-16
## black        -392.654     17.888 -21.9512 < 2.2e-16
## lag.black     223.080     36.404   6.1278 8.909e-10
## 
## Lambda: 0.81169, LR test value: 2384.6, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.011396
##     z-value: 71.228, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 5073.5, p-value: < 2.22e-16
## 
## Log likelihood: -32655.17 for error model
## ML residual variance (sigma squared): 52280000, (sigma: 7230.5)
## Number of observations: 3143 
## Number of parameters estimated: 5 
## AIC: 65320, (AIC for lm: 67703)

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