久期之利率现值变化(LaTeX)-程序员宅基地

技术标签： 数据挖掘   

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%\documentclass{article}%英文论文格式，使用pdflatex编译器
\title{今天你学习了吗}
\author{tony}
\date{\today}
\CTEXsetup[format={\Large\bfseries}]{section}%所有标题居左
\usepackage{amsmath}%加载包来公式换行对齐
\begin{document}
	%\maketitle%显示前述标题作者日期
	\section{久期(duration)}
	\subsection{马考勒久期(Macaulay duration)}
	马考勒久期就是未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占比重。马考勒久期越大，说明未来现金流的加权到期时间越长，从而债券价格对利率的敏感性越强，利率风险越高。
	$$D_{mac}=\frac{1}{P(y)}\sum_{t>0}tR_{t}(1+y/m)^{-mt}$$
	或者
	$$D_{mac}=\frac{1}{P(\delta)}\sum_{t>0}tR_{t}e^{-\delta t}$$
	所以也可以表示为：
	$$D_{mac}=-\frac{P'(\delta)}{P(\delta)}$$
	\subsection{修正久期(modified duration)}
	修正久期就是到期收益率变化时债券价格的单位变化速率。反映了债券价格随着到期收益率的变化而变化的速度。
	$$D_{mod}=-\frac{P'(y)}{P(y)}$$
	$$P(y)=\sum_{t>0}R_{t}(1+y/m)^{-mt}$$
	$$P'(y)=-\sum_{t>0}tR_{t}(1+y/m)^{-mt-1}$$
	$$D_{mod}=\frac{D_{mac}}{1+y/m}$$
	\subsection{firsr-order modified approximation}
	$$\begin{aligned}
		P(i)=&P(i_{0})+P'(i_{0})(i-i_{0})\\
		=&P(i_{0})-P(i_{0})(i-i_{0})D_{mod}(i_{0})\\
		=&P(i_{0})(1-(i-i_{0})D_{mod}(i_{0}))
	\end{aligned}$$
	\subsection{firsr-order Macaulay approximation}
	现值在时刻T的价值为：
	$$V_{T}(i)=P(i)(1+i)^{T}$$
	当T足够小时，比如在第一次支付时刻之前，收益率增加会降低时刻T的价值，即：$V'_{T}(i)<0$；当T足够大时，比如在某次支付之后，收益率增加会提高时刻T的价值，即：$V'_{T}(i)>0$。所以存在某个时刻T，收益率变化时，价值不变，即：$V'_{T}(i)=0$
	$$V'_{T}(i)=P(i)T(1+i)^{T-1}+P'(i)(1+i)^{T}=0$$
	$$T=\frac{-P'(i)(1+i)^{T}}{P(i)(1+i)^{T-1}}=D_{mod}(i)(1+i)=D_{mac}(i)$$
	$$V_{T}(i)=P(i)(1+i)^{D_{mac}(i)}$$Aa
	对$V_{T}(i)$进行泰勒展开：设$V'_{T}(i_{0})=0$
	$$V_{T}(i)=V_{T}(i_{0})+(i-i_{0})V'_{T}(i_{0})=V_{T}(i_{0})$$
	$$P(i)(1+i)^{D_{mac}(i_{0})}=P(i_{0})(1+i_{0})^{D_{mac}(i_{0})}$$
	$$P(i)=P(i_{0})\left(\frac{1+i_{0}}{1+i}\right)^{D_{mac}(i_{0})}$$
\end{document}

 

 

 

 
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