Catalan数(卡特兰数)—多重幂计数问题、排队问题_设给定n个变量 1 x 1 、 2 x 2 、…、 x n 。将这些变量依序-程序员宅基地

技术标签： 算法  java  数据结构  

多重幂计数问题

问题描述
设给定n个变量x1,x2,…,xn。将这些变量依序作底和各层幂，可得n重幂如下
在这里插入图片描述

这里将上述n重幂看作是不确定的，当在其中加入适当的括号后，才能成为一个确定的n重幂。不同的加括号方式导致不同的n重幂。例如，当n=4时，全部4重幂有5个。

对n个变量计算出有多少个不同的n重幂。
问题分析
问题思路——加括号问题的思路：
将原问题 依序作底和各层幂（加括号 ） 转化成 —— 给定一列数，进行加括号
　　举个例子：

  1     2     3     4     5   n= 5
  
 (1)(   2     3     4     5)  排列方法 1 * 5 =5种   //第一次划分的位置为  1 2 中间，
 
 (1     2)(   3     4     5)  排列方法 1 * 2 =2种   //第二次划分的位置为  2 3 中间，
 
 (1     2     3)(   4     5)  排列方法 2 * 1 =2种   //第二次划分的位置为  3 4 中间，
 
 (1     2     3     4)(   5)  排列方法 5 * 1 =5种   //第二次划分的位置为  4 5 中间，

总的h(n) = 5+2+2+5 = 14 种 即对应卡特兰数 5 —对应— 14

卡特兰数前n 项： 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,
 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 
 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 所以原问题: 对n个变量计算出有多少个不同的n重幂——>直接输出 卡特兰数

Java 求解代码如下：

package lgd;

import java.util.Scanner;//导入输入流

//多重幂计数问题
public class duochongmijishu {
    

    public static void main(String[] args) {
    
        int n;//数量的个数，括号等于 n - 1
        int[] p;//定义一个数组
        Scanner input=new Scanner(System.in);// 创建输入流对象

        while(1==1)
        {
    
            n=input.nextInt();//使用输入流对象 调用nextInt() 方法输入一个整数到n中
            p=new int[n+1];//分配内存，大小为n+1
            p[1]=1; //初始化下标为1的地址，如果是一个数，则直接使用1
            //给n之前的每一个数求对应的值
            for(int i=2;i<=n;i++)
                for(int k=1;k<=i;k++)
                    p[i]+=p[k]*p[i-k];
         //循环输出每一个数对应的值
            for(int i  = 1 ;i<n+1 ;i++) {
    
                System.out.println(i+"对应"+p[i]);
            }
        }
    }

}

运行结果如下：
在这里插入图片描述

排队问题

问题描述
12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
问题分析
首先我们应该将12个人进行从低到高排队，之后再排成两列，因为要求是每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，我们就可以将问题转化为括号的问题：
　　第一排 ——　（
　　第二排 —— 　 ）
　　将排队问题转化成括号的入栈出栈问题，合法的情况下，直接按照括号问题分析：
　含有6个（,6个）的序列,就对应一种方案.
　　比如
（（（（（（ ）））））） 对应

　　第一排：0 1 2 3 4 5
　　第二排：6 7 8 9 10 11

（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）对应

　　第一排：0 2 4 6 8 10
　　第二排：1 3 5 7 9 11

问题转换为，这样的满足条件的（ ）序列有多少个。
代码部分

代码可直接参考上面问题的代码，或者根据分析自己试着写（偷个懒，嘿嘿）

文献参考以及本人推荐：
1.kukosmary 博主 的 Catalan数——卡特兰数 https://blog.csdn.net/u014535295/article/details/
2.dijk 博主的 算法设计与分析: 3-4 多重幂计数问题 https://blog.csdn.net/IOIO_/article/details/81006920
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_51086862/article/details/118098232

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