第二个重要的主题是连通性,我们直观上知道想应用连通性到哪种集合上,然而,我们的直观在判断更复杂的集合时可能会失效,例如如果 R2 中的集合为 {
(x,sin1/x)|x>0}∪{
(0,y)|y∈[−1,1]} ,那么它是连通的吗?如图 ??? 所示,现在我们想用严格的定义来形式化这个概念。
事实上,有两个不同但彼此相互联系的连通概念,其中更加直观且实用的是路径连通(path-connectedness),所以我们先从它入手,首先我们需要定义连接两点的曲线是什么。
定义2 连接 Rn 中两点 x,y 的连续路径是一个映射: φ:[a,b]→Rn ,它满足 φ(a)=x,φ(b)=y 且 φ 是连续的,这里 x,y 可能相等,也可能不相等 b≥a ,在随后的文章中我们会详细的研究连续映射,但是目前,如果对于 [a,b] 中收敛到某个值 t∈[a,b] 的每个序列 tk ,满足
那么我们就说 φ 是连续的。(直观上来看,连续路径就是该路径上没有断点或跳跃点)如果对于所有的 t∈[a,b] , φ(t)∈A ,那么我们说路径 φ 位于集合 A 中,如图
如果集合 A 中的任意两点被一条位于
例如,图
利用上面路径连通的定义,有一个事实是图 ??? 中的集合不是路径连通的,虽然这个事实得证明比较繁琐。许多时候判断集合是否是路径连通的非常容易,只需要看任何两点是否可以由位于集合中的曲线连接起来,并且几何直观也很明显。连通的第二个概念不太好直接判断,但是非常有用我们会在下一篇文章中给出。
例1: 下面那些集合是路径连通的?
(a) [0,3]
(b) [1,2]∪[3,4]
(c) {
(x,y)∈R2|0<x≤1}
(d) {
(x,y)∈R2|0<x2+y2≤1}
解: 只有(b)不是路径连通的,从图 ??? 可以很明显的看出来。
例2: 路径连通必须是闭的吗?或者开的?
解: 不需要。[0,1],(0,1),[0,1)都是路径连通的。
例3: 令 φ:[0,1]→R3 是一个连续路径,并且 ℓ=φ([0,1]) ,说明 ℓ 是路径连续的。
解: 这在直观上很明显,因为我们可以用 φ 本身取连接 ℓ 中的任意两点。更准确的说,如果 x=φ(a),y=φ(b) ,其中 0≤a≤b≤1 ,令 c:[a,b]→R3,c(t)=φ(t) ,那么 c 是连接
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