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1. On-policy vs. Off-policy

所谓 on-policy （左图）指我们学习的 agent（即actor） 和与环境交互的 agent 是相同的，即 agent 一边和环境互动，一边学习；

而 off-policy （右图）指我们学习的 agent 与环境交互的 agent 是不同的，即 agent 通过看别人玩游戏来学习。

on-policy的过程是这样的：

1、使用actor ${\pi }_{\theta }$ 去收集数据，用这些数据来进行参数的更新，此时参数$\theta$变为KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲'。
2、由于参数$\theta$变为KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲'，原本actor ${\pi }_{\theta }$收集的数据就不能用了，所以要重新收集数据
3、再根据actor KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 12: \pi_{\theta^̲'}收集的数据，将参数KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲'变为KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲''。
一直这样循环下去…………

• On-policy的不足
  从上面的过程可以看出，更新后的actor KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 12: \pi_{\theta^̲'} 的参数变为KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲'，原来的数据就不能用了。就是说每更新一次参数就需要重新去收集数据，这样更新的效率很低，很花时间。

• 目标
  用 KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 12: \pi_{\theta^̲'} 去收集数据，用这些数据去训练 ${\pi }_{\theta }$。这样就可以更新参数很多次而只用同一批数据，这就是off-policy。

2. Importance sampling

代表从分布p中取样本x送入f(x)并求期望，类似于从p中取N个$x^i$，然后代入f(x)求平均(近似表示)，即

现在假设我们不能从分布 p 中 sample 数据，只能从分布 q 中 sample，这样不能直接套上述近似。而要用：

即从p分布sample数据变为从q分布sample数据，只需在后面乘上一个weight，即$\frac{p(x)}{q(x)}$

• Importance Sampling 存在的问题：
  
  通过上述公式看出，即便两者期望值一样，但是他们的方差（variance）不同，两式的区别在于红框那里多了一项。
  
  这幅图具体说明了上述问题：蓝线代表 p的分布，绿线代表 q 分布，红线代表f(x)函数，现在我们要从 p、q 分布中 sample 出 x ，投到f(x)中计算。

可以看出 p、q 分布对于f(x)的计算而言差别是很大的。如果sample次数不够多，会造成只sample到每一种分布中，数量比较多（出现概率比较大）的那些样本，比如从p中sample，会容易sample到使f(x)小于0的x；从q中sample，会容易sample到使f(x)大于0的x。

如上图所示，当从p中sample x时，大多数f(x)是负的，因此$E_{x\sim p}[f(x)]$应该是负的；当sample次数不够多时（上图所示），上式不一定成立，如上图中从q中采样的x，因为sample次数不够多，很可能使得f(x)均为正(只sample到数量多的x)，虽然$\frac{p(x)}{q(x)}$很小，但也是正的，因此$E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$应该是正的。所以，sample次数不够多时，上式不一定成立。

下面是sample次数足够的情况，此时上式是成立的。

可以看到，sample次数够多的时候，（在q中）可能就能sample到左边的点（出现数量少/概率低的x）。这样sample到左边绿线那个点的时候，f(x)是负的，$\frac{p(x)}{q(x)}$会得到一个很大的值，这样就会将原本是正的$E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$拉回成负的。

但这个前提是sample足够多次。如果sample次数不够多，就会造成$E_{x\sim p}[f(x)]$和$E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$有很大的差别，这就是importance sampling的不足。

回到一开始，讲了importance sampling后，我们知道如何由θ变为θ’。只需将:

这样就能用actor ${\pi }_{{\theta }^{\prime }}$收集数据，给actor ${\pi }_{\theta }$去训练了。

使用 off-policy，使用梯度做参数更新时要注意的点：

1. $A^{\theta }(a_t,s_t)$是总计的Reward减掉bias(baseline)，即 $A^{\theta }(s_t,a_t)=R({\tau }^n)-b$，就是衡量在状态st下采取动作at的回报。$A^{{\theta }^{\prime }}(a_t,s_t)$是根据 sample 到的数据计算。
2. 因为是KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 12: \pi_{\theta^̲'}与环境做互动，所以$A^{\theta }(a_t,s_t)$要变为$A^{{\theta }^{\prime }}(a_t,s_t)$
3. 这里我们估计$\frac{p_{\theta }(s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(s_t)}=1$，因为猜测 state 的出现与θ关系不大，况且这一项本来就无法计算，因为state出现的概率我们是不能控制或估计的。
4. $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}$可以直接算，
   由此可以得到新的目标函数:
   
   上标${\theta }^{\prime }$代表跟环境互动的，$\theta$是要更新的参数。

3. PPO / TRPO算法

上面讲了$\theta$和KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: \theta^̲'相差太多(p分布和q分布相差太多)，会导致结果错误。那么为了防止$\theta$和${\theta }^{\prime }$相差太多，就可以使用PPO算法。

在原来的目标函数$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )$后再加一项约束值 $\beta KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$，这个约束就像深度学习中的正则化项。

这一项和衡量$\theta$和${\theta }^{\prime }$的差距，这里的差距指的是actor行为上的差距而不是参数上的差距。(不是两个网络参数之间的差距，而是两个网络输出的差距)。

下面这个是TRPO算法：

TRPO和PPO的区别：

TRPO在作梯度上升的时候，只对求梯度上升，而KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 17: …L(\theta,\theta^̲')只作为一个额外的约束，很难计算。(有约束优化问题)

而PPO的$\beta KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$是放到优化目标中（无约束优化问题），这样作梯度上升的时候就是将一整个式子（包括$\beta KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$）一起算，比较容易算。

所以，为了方便使用，而且两者性能差不多，就直接使用PPO吧.

那$\beta$要设多少呢？

PPO中$\beta$ 和学习率有点类似，需要手动设置。我们可以设定两个阈值 $K{L}_{max}$和 $K{L}_{min}$ 。经过一次参数更新后，查看KL的值，如果KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 17: …L(\theta,\theta^̲') 大于 $K{L}_{max}$ ，说明 $\theta$ , ${\theta }^k$ 相差太大，需要加大$\beta$ ，加大惩罚。反之则减小$\beta$ ，减小惩罚。

上面讲的是PPO，下面要讲的是PPO2。

min(a,b)函数就是取a和b中的最小值。clip()函数的意思是：$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$ 小于 $1-\epsilon$，则取 $1-\epsilon$；若 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$ 大于 $1+\epsilon$ 则取 $1+\epsilon$ ；若介于两者之间，则取 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$ ，即输入等于输出。

上面为clip()函数的图像，横轴指的就是$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$。

总的图像：

绿线代表min()函数的第一项的图像，蓝线代表min()函数的第二项的图像，红线代表最终min()函数的输出结果。

若A>0，则取下图左边红线部分，若A<0则取下图右边红色部分。

这个式子其实就是让 $\theta$ 和 ${\theta }^k$ 不要差距太大。如果A（advantage function）>0，代表当前的action是好的，所以我们希望 $p_{\theta }(a_t|s_t)$越大越好（即横轴代表的 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$ 增大），但是 $p_{\theta }(a_t|s_t)$ 和 $p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)$ 二者不能相差太多，所以设了一个上界 $1+\epsilon$ （上图左边）；A<0，则说明当前的action不好，所以希望 $p_{\theta }(a_t|s_t)$ 越小越好（即横轴代表的 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}$ 减小），同理同样要设一个下界 $1-\epsilon$ 。

最后再放一下PPO和PPO2的对比：

这里有人纠结怎么一开始写的PPO是取期望，而这里的PPO和PPO2怎么变成是累加的？

TRPO / PPO2 等方法的实验效果：

这边可能不清晰，可以看论文原文
简单说一下，PPO（Clip）是紫色的线，可以看到每个任务中的效果都是名列前茅。

4. 总结

1. 介绍了on-policy和off-policy的概念，和on-policy不足
2. 为了实现 用 ${\pi }_{{\theta }^{\prime }}$ 去收集数据，用这些数据去训练 ${\pi }_{\theta }$ （即off-policy），使用Importance sampling方法
3. 在Importance sampling方法中要求$\theta$和${\theta }^{\prime }$不要相差太多，否则会导致结果错误。进而引出PPO算法
4. 介绍了PPO和TRPO和PPO2