判断可微
方法一：若函数可微，则下列极限应为0
lim Δ x → 0 , Δ y → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) − f x ( x 0 , y 0 ) Δ x − f y ( x 0 , y 0 ) Δ y Δ x 2 + Δ y 2 \lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} Δx→0,Δy→0limΔx2+Δy2f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−fx(x0,y0)Δx−fy(x0,y0)Δy
方法二：判断一阶偏导是否连续，即 f x , f y f_x,f_y fx,fy在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续时函数可微
判断不可微
方法一：连续性推导。若函数在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处不连续，则函数不可微
方法二：偏导存在性推导。若函数在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处的偏导有一个不存在，则函数不可微
一阶偏导数连续性、可微、连续性和可偏导的关系为
方法：下列极限是某点出的一阶偏到
f x ( x 0 , y 0 ) = lim x → 0 f ( x 0 + x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) x f_x(x_0,y_0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x_0+x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x} fx(x0,y0)=x→0limxf(x0+x,y0)−f(x0,y0)
f y ( x 0 , y 0 ) = lim y → 0 f ( x 0 , y 0 + y ) − f ( x 0 , y 0 ) y f_y(x_0,y_0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+y)-f(x_0,y_0)}{y} fy(x0,y0)=y→0limyf(x0,y0+y)−f(x0,y0)
注意： δ f δ y ( x , 0 ) ≠ lim y → 0 δ f δ y ( x , y ) \frac{\delta f}{\delta y}(x,0)\neq\lim_{y\to 0}\frac{\delta f}{\delta y}(x,y) δyδf(x,0)=limy→0δyδf(x,y)，而相等的时候说明 f y f_y fy在 y y y处可导
方法一：定义法，一般适用于分段函数（点）
D u f = lim t → 0 f ( x 0 + t u 1 , y 0 + t u 2 ) − f ( x 0 , y 0 ) t D_uf=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+tu_1,y_0+tu_2) - f(x_0,y_0)}{t} Duf=t→0limtf(x0+tu1,y0+tu2)−f(x0,y0)
方法二：梯度法，适用于连续点
D u f = ∇ f ⋅ u ⃗ D_uf=\nabla f·\vec{u} Duf=∇f⋅u
二级结论：可微函数 f f f在 P 0 P_0 P0处可微，则 ∀ u ⃗ , ( D u f ) p 0 \forall \vec{u},(D_uf)_{p_0} ∀u,(Duf)p0存在
方法一：公式法
δ x δ y = − F y F x \frac{\delta x}{\delta y}=-\frac{F_y}{F_x} δyδx=−FxFy
方法二：同时求导，如 F ( x − y , y − z ) = 0 F(x-y,y-z)=0 F(x−y,y−z)=0，求 δ z δ x \frac{\delta z}{\delta x} δxδz。可以将 z z z视为 x ， y x，y x，y的函数处理
例. 已知 { x = u v y = 1 2 ( u 2 − v 2 ) \begin{cases}x = uv \\y=\frac12(u^2-v^2) \end{cases} { x=uvy=21(u2−v2)将 ( δ z δ x ) 2 + ( δ z δ y ) 2 = 1 x 2 + y 2 (\frac{\delta z}{\delta x})^2+(\frac{\delta z}{\delta y})^2 = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} (δxδz)2+(δyδz)2=x2+y21变成关于 u , v u,v u,v的方程
提示： Z u = v Z x + u Z y Z_u=vZ_x+uZ_y Zu=vZx+uZy
方法：用连式法则表示出 Z u , Z v Z_u,Z_v Zu,Zv，通过解方程可以将 Z x ， Z y Z_x，Z_y Zx，Zy用 Z u , Z v Z_u,Z_v Zu,Zv表示，代入方程即可
切平面： F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 Fx(x−x0)+Fy(y−y0)+Fz(z−z0)=0
法向量： ( F x , F y , F z ) (F_x,F_y,F_z) (Fx,Fy,Fz)
方法：统一化成隐函数，用梯度做
方法一：一、二阶导判别法
适用于：没有限制条件，有界图形
操作：找到满足 f x = f y = 0 f_x=f_y=0 fx=fy=0的所有点，代入二阶导判别验证属性。边界上的点单独讨论。最终在求得值中综合判断极值
注意：二阶导验证中， f x x f y y − f x y 2 = 0 f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}=0 fxxfyy−fxy2=0时（二阶导验证无效），有两种处理办法
1.将函数经过变换，如配方，将函数变成可以直接判断极值的形式（一般是二次函数）
2.找到两条不同的直线逼近，如果两条直线逼近的负号不同（或者沿一条直线，两边逼近一正一负），说明此点不是极值点
例. f ( x , y ) = 2 ( y − x 2 ) 2 − 1 7 x 7 − y 2 f(x,y)=2(y-x^2)^2-\frac17x^7-y^2 f(x,y)=2(y−x2)2−71x7−y2在点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)满足一阶导为0，判断此点是否为局部极值点。
提示：沿 y = x 2 y=x^2 y=x2和 x = 0 x=0 x=0逼近的结果一正一负
方法二：拉格朗日数乘法判断极值
适用于：有限定条件；图形边界上点在函数中的极值
注意：拉格朗日找到的极值就是边界上的极值，结果只用考虑端点。用数乘法求出的点最好带进 f x x , f x x f y y − f x y 2 f_{xx},f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy} fxx,fxxfyy−fxy2验证点的属性
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