数学建模预测模型——回归分析预测

作为预测模型的大块头，回归分析预测绝对是比较常用的预测模型的一种，下面是对该模型的学习，欢迎大家指正

1. 回归分析预测的分类

回归分析预测的分类如下

1. 简单线性回归预测：当只有一个自变量和一个因变量时，可以使用简单线性回归进行预测。该方法假设自变量和因变量之间存在线性关系，并利用最小二乘法估计回归系数。

2. 多元线性回归预测：当存在多个自变量和一个因变量时，可以使用多元线性回归进行预测。该方法考虑了多个自变量对因变量的影响，并通过最小二乘法来估计回归系数。

3. 多项式回归预测：当自变量与因变量之间的关系不是严格线性时，可以使用多项式回归进行预测。该方法通过引入自变量的高次项（如平方项、立方项等）来拟合非线性关系。

4. 逻辑回归预测 ：逻辑回归主要用于预测二元或多元分类问题。它通过将回归模型的输出映射到一个概率值，进而进行分类预测。逻辑回归常用于预测概率、判断分类结果等领域。

5. 非线性回归预测：当自变量与因变量之间的关系无法通过直线或多项式来拟合时，可以使用非线性回归进行预测。非线性回归模型可以根据具体问题选择适当的函数形式，如指数函数、对数函数等。

这些是回归分析常用的预测类型，根据实际问题的需求和数据的特点选择合适的预测方法进行分析。需要根据具体情况选择合适的回归模型，并进行模型评估和结果解释，以确保预测的准确性和可靠性。

2. 回归分析模型的数学原理

当我们使用线性回归进行预测时，假设因变量 Y 和自变量 X 之间存在一个线性关系。这个关系可以用以下的数学模型表示：
$$Y=\beta 0+\beta 1\ast X+\epsilon$$

其中，Y 是因变量，X 是自变量，β0 和 β1 是回归系数，ε 是误差项。

回归分析的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与观测值之间的误差最小化。这里使用最小二乘法来估计回归系数。

最小二乘法的思想是选择一组回归系数，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小。具体的步骤如下：

1. 定义预测值：根据上述线性模型，我们定义预测值为 Ŷ = β0 + β1*X。

2. 定义残差：残差是观测值与预测值之间的差异，用 ε 表示，即 ε = Y - Ŷ。

3. 定义残差平方和（SSE）：SSE 表示所有观测值的残差平方的总和，即 SSE = Σ(ε^2)。

4. 最小化残差平方和：通过对 SSE 进行求导，并令导数为零，可以推导出最佳的回归系数 β0 和 β1 的估计值。

   • 对 β0 求导：d(SSE)/d(β0) = -2Σ(Y - β0 - β1*X) = 0，> 求解得到 β0 的估计值。

   • 对 β1 求导：d(SSE)/d(β1) = -2Σ(X (Y - β0 - β1X)) = 0，求解得到 β1 的估计值。

5. 计算回归方程：根据估计的回归系数，我们可以得到最终的回归方程 Y = β0 + β1*X。

通过上述步骤，我们可以得到线性回归模型的最佳拟合参数，从而进行预测。

需要注意的是，回归分析中还有一些假设条件，如误差项ε满足独立同分布的正态分布、自变量之间相互独立等。这些假设保证了估计的回归系数具有良好的统计性质，并使得回归模型在实际应用中更加可靠和有效。

总结起来，线性回归的数学原理主要包括建立线性关系的模型、定义残差、最小化残差平方和、求解最佳回归系数、计算回归方程等步骤。通过最小二乘法，我们可以求解出最佳拟合的回归系数，以进行预测和分析。

3. 建立模型的步骤

回归分析是一种统计学方法，用于建立因变量与自变量之间关系的预测模型。它的原理基于以下假设：

1. 线性关系假设：假设因变量和自变量之间存在线性关系。

2. 残差平稳性假设：假设残差（观测值与预测值之间的差异）在预测模型中是随机的，没有系统性的趋势。

回归分析的步骤如下：

1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据。
2. 模型建立：选择适当的回归模型，例如简单线性回归、多元线性回归、多项式回归等。根据已有数据拟合模型，得到回归系数。
3. 模型评估：通过评估指标（如R方值、均方误差等）来判断模型的拟合程度和预测效果。
4. 模型应用：使用已建立的回归模型对新的自变量数据进行预测，得到因变量的预测值。

4. 模型适用范围

• 预测分析：回归分析可以用于预测因变量的值。例如，根据过去销售额和广告投入的数据，建立回归模型来预测未来的销售额。
• 影响因素分析 ：回归分析可以用于确定自变量对因变量的影响程度。例如，通过分析房屋价格与面积、位置、楼层等因素之间的关系，确定各个因素对房价的影响程度。
• 决策支持：回归分析可以用于辅助决策，帮助理解和解释数据，确定最佳决策方案。例如，在市场营销中，回归分析可以用于确定广告投入对销售额的影响，以优化广告预算的分配。
• 趋势分析：回归分析可以用于分析数据的趋势和变化规律。例如，根据过去几年的气温数据建立回归模型，分析气温随时间的变化趋势，以预测未来的气温变化。

需要注意的是，回归分析假设了因变量与自变量之间的线性关系，并且在实际应用中需要满足一些前提条件，如数据的独立性、自变量之间的独立性、残差的正态性等。同时，在使用回归模型进行预测时，也需要考虑自变量的选择和数据的质量，以确保预测结果的准确性和可靠性。

5. 该模型的优缺点

回归分析算法具有以下优点和缺点：

优点：

1. 简单易用：回归分析算法相对简单，容易理解和实现。它提供了一种可解释性强的建模方法，可以通过回归系数来解释自变量与因变量之间的关系。
2. 预测能力：回归分析算法可以用于预测未观测到的因变量的值。通过建立回归模型，可以利用已知的自变量数据进行预测，并获得相应的预测结果。
3. 变量筛选：回归分析可以通过回归系数的显著性检验和变量的逐步选择等方法，筛选出对因变量有重要影响的自变量，帮助我们理解问题背后的关键因素。
4. 模型诊断：回归分析提供了一些诊断工具，如残差分析、离群值检测等，可以帮助识别模型是否合适、是否存在异常观测值等。

缺点：

1. 线性假设限制：回归分析通常基于线性假设，假设因变量和自变量之间存在线性关系。当数据的真实关系非线性时，回归模型可能会产生不准确或失效的结果。
2. 数据要求：回归分析对数据的要求较高，需要满足一些假设条件，如自变量之间的独立性、残差的正态性等。如果数据不符合这些假设，可能导致回归模型的偏差或无法达到有效的预测效果。
3. 过拟合风险：当自变量较多或存在高度相关性时，回归分析容易出现过拟合问题。过拟合会导致模型在训练数据上表现良好，但在新数据上的泛化能力较差。
4. 异常值敏感：回归分析对异常值较为敏感，即少数异常值可能对模型产生较大影响。因此，在进行回归分析时，需要注意异常值的处理和识别。

综上所述，回归分析算法是一种常用且有效的分析工具，具有解释性强、预测能力好等优点。但需要注意其线性假设限制、数据要求和过拟合风险等缺点，以及对异常值的敏感性。在使用回归分析时，需要根据具体情况进行适当的模型选择、数据准备和结果解释，以提高分析的可靠性和准确性。

6. python 实现

1.简单线性回归

import numpy as np
from matplotlib import  pyplot as plt

X=np.array([2,3,4,5,6]) #定义数据集
Y=2*X+np.random.normal(1,2,5) #Y是X的线性函数加上服从正态分布的随机误差
plt.scatter(X,Y)
#计算均值
x_mean=np.mean(X)
y_mean=np.mean(Y)
#计算回归系数：通过遍历X和Y的元素，计算回归系数a和截距b
n=0.0   #n为(X-x_mean)*(Y-y_mean)的累加和
d=0.0   #d为(X-x_mean)^2的累加和
for x,y in zip(X,Y):
    n+=(x-x_mean)*(y-y_mean)
    d+=(x-x_mean)**2
a=n/d   #回归系数
b=y_mean-a*x_mean   #截距
y_predict=[a*x+b for x in X]    #预测Y值
plt.scatter(X,Y)    #绘制回归线
plt.plot(X,y_predict,color='r')
ss_residual=sum((y_predict-Y)**2)   #残差平方和
ss_total=sum((Y-y_mean)**2)     #总平方和
score=1-ss_residual/ss_total
print(score)
n=5 #自由度
betal_hat=a #betal_hat为回归系数a
se_model=np.sqrt(ss_residual/(n-2)) #模型标准误差
sss=np.sqrt(sum((X-x_mean)**2)) #解释变量的离差平方和
t_val=betal_hat/(se_model/sss)  #t统计量
from scipy.stats import t
p_val=2*(1-t.cdf(t_val,n-2))    # 双侧检验的p值
print(p_val)

2.多元线性回归

import numpy as np  #科学计算-处理数据的库
import pandas as pd #数据分析的库
import **tplotlib.pyplot as plt #画图
from sklearn.linear_model import LinearRegression   #用于机器学习
from sklearn.model_selection import train_test_split
#加载数据
data = pd.read_csv('data.csv')
#分割数据
X = data[['Height', 'Weight', 'Age']]
y = data['Pulse']
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# # 可视化数据-需要根据自己的实际情况进行更改
# plt.scatter(data['Height'], data['Weight'])
# plt.xlabel('Height')
# plt.ylabel('Weight')
# plt.show()
#训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)
#预测
y_pred = model.predict(X_test)

3.多项式线性回归

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创造数据
def CreateData():
    X = np.arange(0,10,0.3)
    y = np.empty(X.shape[0])
    for i in range(X.shape[0]):
        y[i] = 1.1*X[i]**3 - 10*X[i]**2 + X[i] + np.random.uniform(-10,10)
    return X[:,np.newaxis], y

X, y = CreateData()
X = np.insert(X, 0, 1, axis = 1)

# 数据可视化
plt.scatter(X[:,1], y, marker = 'x')

# 使用普通线性回归预测（一次函数）
theta = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), np.dot(X.T, y))
# 可视化回归曲线
t = np.linspace(-1, 11, 100)
plt.plot(t, theta[0] + theta[1] * t, c = 'blue')

# 使用二次函数回归
col_new = X[:,1]**2 # 新增加一列
X = np.hstack([X, col_new[:,np.newaxis]])
theta = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), np.dot(X.T, y))
# 可视化回归曲线
t = np.linspace(-1, 11, 100)
plt.plot(t, theta[0] + theta[1] * t + theta[2] * t**2, c = 'yellow')

# 使用三次函数回归
col_new = X[:,1]**3 # 新增加一列
X = np.hstack([X, col_new[:,np.newaxis]])
theta = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), np.dot(X.T, y))
# 可视化回归曲线
t = np.linspace(-1, 11, 100)
plt.plot(t, theta[0] + theta[1] * t + theta[2] * t**2 + theta[3] * t**3, c = 'red')

# 加标注
plt.legend([r"$y=\theta_0+\theta_1x$",
            r"$y=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2$",
            r"$y=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+\theta_3x^3$"])
plt.show()

参考博客：
多项式回归
多元线性回归