红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色,可以是 Red 或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出 2 倍,因而是接近平衡的。
思考:为什么满足上面的性质,红黑树就能保证:其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍?
// 节点的颜色
enum Color {
RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType(),Color color = RED)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _color(color)
{
}
RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; // 节点的左孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pRight; // 节点的右孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转,为了实现简单给出该字段)
ValueType _data; // 节点的值域
Color _color; // 节点的颜色
};
思考:在节点的定义中,为什么要将节点的默认颜色给成红色的?
为了后续实现关联式容器简单,红黑树的实现中增加一个头节点,因为根节点必须为黑色,为了与根节点进行区分,将头节点给成黑色,并且让头节点的 pParent 域指向红黑树的根节点,pLeft 域指向红黑树中最小的节点,pRight 域指向红黑树中最大的节点,如下:
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件,因此红黑树的插入可分为两步:
按照二叉搜索树的树规则插入新节点:
template<class ValueType>
class RBTree
{
//……
bool Insert(const ValueType& data)
{
PNode& pRoot = GetRoot();
if (nullptr == pRoot)
{
pRoot = new Node(data, BLACK);
// 根的双亲为头节点
pRoot->_pParent = _pHead;
_pHead->_pParent = pRoot;
}
else
{
// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
// 2. 检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏,
// 若满足直接退出,否则对红黑树进行旋转着色处理
}
// 根节点的颜色可能被修改,将其改回黑色
pRoot->_color = BLACK;
_pHead->_pLeft = LeftMost();
_pHead->_pRight = RightMost();
return true;
}
private:
PNode& GetRoot() {
return _pHead->_pParent; }
// 获取红黑树中最小节点,即最左侧节点
PNode LeftMost();
// 获取红黑树中最大节点,即最右侧节点
PNode RightMost();
private:
PNode _pHead;
};
检测新节点插入后,红黑树的性质是否遭到破坏:
因为新节点的默认颜色是红色,因此:如果其双亲节点的颜色是黑色,没有违反红黑树任何性质,则不需要调整;但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时,就违反了性质三:不能有连在一起的红色节点,此时需要对红黑树分情况来讨论:
约定:cur 为当前节点,p 为父节点,g 为祖父节点,u 为叔叔节点。
情况一:cur 为红,p 为红,g 为黑,u 存在且为红
cur 和 p 均为红,违反了性质三,此处能否将 p 直接改为黑?
解决方式:将 p,u 改为黑,g 改为红,然后把 g 当成 cur,继续向上调整。
情况二:cur 为红,p 为红,g 为黑,u 不存在 / u 存在且为黑
p 为 g 的左孩子,cur 为 p 的左孩子,则进行右单旋转;相反,
p 为 g 的右孩子,cur 为 p 的右孩子,则进行左单旋转;
p、g 变色 – p 变黑,g 变红。
情况三:cur 为红,p 为红,g 为黑,u 不存在 / u 存在且为黑
p 为 g 的左孩子,cur 为 p 的右孩子,则针对 p 做左单旋转;相反,
p 为 g 的右孩子,cur 为 p 的左孩子,则针对 p 做右单旋转;
则转换成了情况 2。
针对每种情况进行相应的处理即可。
bool Insert(const ValueType& data)
{
// ...
// 新节点插入后,如果其双亲节点的颜色为空色,则违反性质3:不能有连在一起的红色结点
while (pParent && RED == pParent->_color)
{
// 注意:grandFather一定存在
// 因为pParent存在,且不是黑色节点,则pParent一定不是根,则其一定有双亲
PNode grandFather = pParent->_pParent;
// 先讨论左侧情况
if (pParent == grandFather->_pLeft)
{
PNode unclue = grandFather->_pRight;
// 情况三:叔叔节点存在,且为红
if (unclue && RED == unclue->_color)
{
pParent->_color = BLACK;
unclue->_color = BLACK;
grandFather->_color = RED;
pCur = grandFather;
pParent = pCur->_pParent;
}
else
{
// 情况五:叔叔节点不存在,或者叔叔节点存在且为黑
if (pCur == pParent->_pRight)
{
_RotateLeft(pParent);
swap(pParent, pCur);
}
// 情况五最后转化成情况四
grandFather->_color = RED;
pParent->_color = BLACK;
_RotateRight(grandFather);
}
}
else
{
// 右侧请大家自己动手完成
}
}
// ...
}
红黑树的检测分为两步:
bool IsValidRBTree()
{
PNode pRoot = GetRoot();
// 空树也是红黑树
if (nullptr == pRoot)
return true;
// 检测根节点是否满足情况
if (BLACK != pRoot->_color)
{
cout << "违反红黑树性质二:根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
size_t blackCount = 0;
PNode pCur = pRoot;
while (pCur)
{
if (BLACK == pCur->_color)
blackCount++;
pCur = pCur->_pLeft;
}
// 检测是否满足红黑树的性质,k用来记录路径中黑色节点的个数
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
//走到null之后,判断k和black是否相等
if (nullptr == pRoot)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四:每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 统计黑色节点的个数
if (BLACK == pRoot->_color)
k++;
// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
PNode pParent = pRoot->_pParent;
if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
{
cout << "违反性质三:没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount)
&& _IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}
红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是 O( l o g 2 N log_2 N log2N),红黑树不追求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数,所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红黑树更多。
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