对于普通的数学工作者而言，掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则，例如模的概念和运算。
总之，我个人认为，不论是微积分、还是线性代数，或者是统计学，多从有形的例子着手，学习最核心最实用的部分，辅以一定数量的习题练习，是一种有效的学习方法。
向量空间->线性变换->线性变换的表示：矩阵
矩阵是二维的，二维相对于三维以及更高维有什么特殊性吗？为什么我们更多地在研究矩阵，而不是更高维张量？
近世代数的主要内容是集合及这些集合上的代数运算。这个代数运算主要是加法和数乘(注意这里不叫乘法)。加法和数乘都具有线性特征，所以这种代数就叫线性代数。
研究代数结构的性质就是近世代数的内容与任务。主要的代数结构有:群、环、体、域、模等。
线性代数是研究线性空间(向量空间)、模和其上的线性变换以及与
之有关的问题(如线性、双线性、二次函数等)的数学学科。
任何一个n维空间中的元素，都可以通过一个向量 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1, x_2, ...,x_n) (x1,x2,...,xn)来定位，或者说n维空间中每个点，都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。
矩阵是什么？以下几种理解都是正确的：
所以，一个矩阵乘以一个向量: A ∗ x A*x A∗x 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式？因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。
这里需要举个例子才能说得更明白。
向量空间，基，维数，坐标。线性变换。
特征值，特征向量，行列式，trace。
为何按照行乘列的方式定义矩阵乘法，而不是对应元素的相乘？
因为矩阵乘法表示为运动的复合，要达到这个目的，唯有按行列相乘的方式定义方可。它的本质是投影和分解。
最典型的例子就是仿射变换。它包括平移、旋转、放缩、剪切、反射。平面上的每个仿射变换可以表示为一个3x3矩阵，多个矩阵的乘积代表多个变换的复合。
特征值与特征向量是矩阵的精妙之处
一个矩阵可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率，叫振幅或能量。
特征值与特征向量绝不像我们在数学书本上看到的那么单调，它蕴含丰富，在图像处理、物理，材料，力学上都有很好的应用。
图像A和图像B的相似程度可以用A和B的特征向量的距离来度量。在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵。
著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。K-L变换是图象分析与模式识别中的重要工具，用于特征抽取，降低特征数据的维数。
还有MIT-Media Lab基于特征脸的人脸识别方法，数据流模式挖掘分析等方面。
有振动的地方就有特征值和特征向量。
如果把全球的网页链接做成邻接矩阵，那么特征向量就是pagerank，就是对全球网页的一种结构描述。
相似矩阵是同一个线性映射，在不同基下的表达形式。
(Jordan)任何复方阵比相似于分块对角阵。
矩阵的分解可以简化矩阵的运算。
处理矩阵问题方法尽管多种多样，但关键的基本方法有六个，它门是:
第一，矩阵分块的方法;
第二，初等变换的方法;
第三，降阶与升阶的方法;
第四，运用标准单位向最的方法;
第五，运用特征值的方法;
第六，运用矩阵标准形的方法。
这六者之中，核心的思想方法是降阶法。
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