常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程,其中未知函数只有一个自变量。在生物系统建模中,常微分方程被用来描述生物系统中状态变量随时间变化的关系。
在生物系统建模中, 刻画某状态变量随时间变化的关系, 用常微分方程来描述。
对于确定性的系统而言, 系统的状态变量随时间的改变, 可以表达成如下的微分方程组:
d x i d t = x ˙ = f i ( x 1 , ⋯ , x n , p 1 , ⋯ , p l , t ) i = 1 , ⋯ , n \frac{d x_i}{d t}=\dot{x}=f_i\left(x_1, \cdots, x_n, p_1, \cdots, p_l, t\right) \quad i=1, \cdots, n dtdxi=x˙=fi(x1,⋯,xn,p1,⋯,pl,t)i=1,⋯,n
这里 x i x_i xi 表示变量, 如浓度; p j p_j pj 表示参数, 如酶浓度或动力学常数; t t t 表示时间。
写成矢量形式: d x d t = x ˙ = f ( x , p , t ) \quad \frac{d \mathbf{x}}{d t}=\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{p}, t) dtdx=x˙=f(x,p,t)
其中, x = ( x 1 , ⋯ , x n ) T , f = ( f 1 , ⋯ , f n ) T , p = ( p 1 , ⋯ , p l ) T \mathbf{x}=\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T, \mathbf{f}=\left(f_1, \cdots, f_n\right)^T, \mathbf{p}=\left(p_1, \cdots, p_l\right)^T x=(x1,⋯,xn)T,f=(f1,⋯,fn)T,p=(p1,⋯,pl)T 。
例如: 代谢建模中, 底物降解, 浓度变化正比于实际的浓度, 就可以表示成:
c ˙ ( t ) = k ⋅ c ( t ) \dot{c}(t)=k \cdot c(t) c˙(t)=k⋅c(t)
SOD是指超氧化物歧化酶(Superoxide Dismutase),是一种抗氧化酶,它可以将细胞内产生的超氧自由基转化为过氧化氢和氧分子。超氧自由基是一种高度反应性的分子,它们可以与细胞内的其他分子发生反应,导致细胞损伤和炎症等问题。因此,SOD在维持细胞健康方面起着重要作用。
SOD通常包括多个亚型,如Cu/Zn-SOD、Mn-SOD和Fe-SOD等。这些亚型在不同的组织和环境中发挥不同的作用。例如,Cu/Zn-SOD主要存在于细胞质中,而Mn-SOD则主要存在于线粒体中。
反应体系: ⟶ c 1 O 2 − − ⟶ C 2 S O D H 2 O 2 ⟶ C 3 cat H 2 O \quad \stackrel{\mathrm{c}_1}{\longrightarrow} \mathrm{O}_2^{--} \stackrel{\mathrm{SOD}}{\stackrel{\mathrm{C}_2}{\longrightarrow}} \mathrm{H}_2 \mathrm{O}_2 \stackrel{\text { cat }}{\stackrel{\mathrm{C}_3}{\longrightarrow}} \mathrm{H}_2 \mathrm{O} ⟶c1O2−−⟶C2SODH2O2⟶C3 cat H2O
系统动力学方程:
{ d O 2 ∙ − d t = c 1 − c 2 ⋅ S O D ⋅ O 2 ∙ − d H 2 O 2 d t = c 2 ⋅ S O D ⋅ O 2 ∙ − − c 3 ⋅ c a t ⋅ H 2 O 2 \left\{\begin{array}{l} \frac{d O_2^{\bullet-}}{d t}=c_1-c_2 \cdot S O D \cdot O_2^{\bullet-} \\ \frac{d H_2 O_2}{d t}=c_2 \cdot S O D \cdot O_2^{\bullet-}-c_3 \cdot c a t \cdot \mathrm{H}_2 \mathrm{O}_2 \end{array}\right. {
dtdO2∙−=c1−c2⋅SOD⋅O2∙−dtdH2O2=c2⋅SOD⋅O2∙−−c3⋅cat⋅H2O2
j简写为
{ d x d t = a − b x d y d t = b x − c y \left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=a-b x \\ \frac{d y}{d t}=b x-c y \end{array}\right. {
dtdx=a−bxdtdy=bx−cy
(其中, x = O 2 ∙ − , y = H 2 O 2 , a = c 1 , b = c 2 ⋅ S O D , c = c 3 ⋅ c a t ) \left.x=O_2^{\bullet-}, y=H_2 O_2, a=c_1, b=c_2 \cdot S O D, c=c_3 \cdot c a t\right) x=O2∙−,y=H2O2,a=c1,b=c2⋅SOD,c=c3⋅cat)
给定参数值:
c 1 = 6.6 × 1 0 − 7 , c 2 = 1.6 × 1 0 9 , c 3 = 3.4 × 1 0 7 , S O D = 1 0 − 5 , c a t = 1 0 − 5 c_1=6.6 \times 10^{-7}, \quad c_2=1.6 \times 10^9, \quad c_3=3.4 \times 10^7, \quad S O D=10^{-5}, \quad c a t=10^{-5} c1=6.6×10−7,c2=1.6×109,c3=3.4×107,SOD=10−5,cat=10−5
和初始条件: O 2 ∗ − ( 0 ) = 0 , H 2 O 2 ( 0 ) = 0 \quad O_2^{*-}(0)=0, \mathrm{H}_2 \mathrm{O}_2(0)=0 O2∗−(0)=0,H2O2(0)=0
XPP-AUT是一种用于求解微分方程的软件工具。它可以用于求解多种类型的微分方程,包括常微分方程、差分方程、延迟微分方程、边界值问题和随机微分方程等。
x'=a-b*x
y'=b*x-c*y
par a=6.6e-7,b=1.6e4,c=3.4e2
init x=0,y=0
done
求解并画图的步骤如下:
将ODE文件拖入xpp – Shortcut
中
点击nUmerics
将Dt
改为0.0001并设置Method
为Q
Esc返回并点击Initialconds
中的(G)o
选择Viewwaxes中
的2D X
设置合适参数
点击Graphic stuff
的exp(o)rt data
导出数据
在matlab(或其他程序)中画图
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|
MATLAB画图代码如下:
data = table2array(readtable("H2O2.dat"));
plot(data(:,1),data(:,2))
xlim([0, 0.01]);
ylim([0, 2e-9]);
xlabel('Time');
ylabel('Concentration');
title('H2O2');
data = table2array(readtable("O2.dat"));
plot(data(:,1),data(:,2))
xlim([0, 0.01]);
ylim([0, 4.3e-11]);
xlabel('Time');
ylabel('Concentration');
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