信噪比讨论¹

1 参数确定

LTE中采用OFDM调制方法，其中的一个指标为30MHz的采样率，其中有效信息带宽为18MHz。下面从这个案例出发研究信噪比之间的关系。
首先，明确几个符号的意义 ：
S：信号的平均功率 N： 噪声的平均功率
Eb： 每bit信号能量 N0：噪声的功率谱密度
Es：信号（符号）的能量 Rb：传信率（每秒传输的bit数）
W： 信号带宽 T： 符号周期
Ts： 采样点间隔 k： 每个符号包含的bit数
因此，有如下公式：
$$EbNo=SNR-10lg（Rb/W）=SNR-10lg（fs\ast M\ast CodeRate/W）=SNR-10lg（30.72/18\ast M\ast CodeRate）=SNR-10lg（30.72/18\ast k）$$
$$EsNo=SNR-10lg（1/T\ast W）=SNR-10lg（30.72\ast Ns/W）$$
$$Rb=fs\ast M\ast coderate=30.72\ast M\ast coderate=30.72\ast k$$
$$W=18MHz$$
$$T=1/fs=1/30.72MHz$$
$$k=M\ast CodeRate$$
同时，这些公式说明了无论对于单载波或者是OFDM多载波调制，其结论和计算方法都是一样的。

2 DFT-S-OFDM波形的噪声

关于DFT-S-OFDM波形，与上面保持同样的结论。
这里主要讨论的是不同的用户需要的信噪比都是一样的吗？

3 加噪方式讨论

3.1 wgn函数与awgn函数两者的区别

1）normal

首先得明确EsN0和EbN0的区别，两者转换如下：²
$$EsN0=EbN0+10\ast log10(M\ast CodeRate)$$
对应下面代码可以得知两者的关系。
$$SNR=EsN0-10\ast log10(in{s}_{v}alue)$$
在matlab函数中，对于加噪函数，awgn函数中加的是SNR值，在wgn函数中加的是EsN0。换句话说，awgn会计算信号的能量，wgn只是对于功率为1的信号对应信噪比的噪声进行直接叠加。
下面代码对比了两种加噪方式的区别，最终的SNR为4dB，EsNo为10dB。

clear
EsN0 = 10;
ins_value = 4;
[psf,den] = rcosine(1,ins_value,'fir/sqrt',0.35,6);
list = 0:pi/1000000:6*pi;
X = sqrt(2)*sin(list);                %产生正弦信号
X_upsample = upsample(X,ins_value);
txSig = conv(X_upsample,psf);
SNR = EsN0 - 10*log10(ins_value);
% Y_temp = awgn(txSig,SNR,'measured');                          %加入信噪比为10db的噪声，加入前预估信号的功率（强度）
Y_temp= txSig + wgn(1,length(txSig),-EsN0,'complex');
Y = Y_temp(49:end-48);
% 计算信噪比（下采样前计算信噪比）
% 因为是在滤波成型之后才加噪所以评估这个合理
sigPower = sum(abs(txSig).^2)/length(txSig);            %求出信号功率
noisePower=sum(abs(Y_temp-txSig).^2)/length(Y_temp-txSig);   %求出噪声功率
SNR=10*log10(sigPower/noisePower)          %由信噪比定义求出信噪比，单位为dB
% 隔取ins_value选取再计算信噪比也是一样的。
Y_temp = Y_temp(1:4:end);
txSig = txSig(1:4:end);
sigPower = sum(abs(txSig).^2)/length(txSig);            %求出信号功率
noisePower=sum(abs(Y_temp-txSig).^2)/length(Y_temp-txSig);   %求出噪声功率
SNR=10*log10(sigPower/noisePower)  

或者有以下简短的代码：

X = sqrt(2)*sin(0:pi/1000000:6*pi);                %产生正弦信号，功率为1
% Y = awgn(X,10,'measured');                          %加入信噪比为10db的噪声，加入前预估信号的功率（强度）
Y = X + wgn(1,length(X), -10);
std_noise = std(wgn(1,length(X), - 10))^2
sigPower = sum(abs(X).^2)/length(X)   ;         %求出信号功率
noisePower = sum(abs(Y-X).^2)/length(Y-X);      %求出噪声功率
SNR = 10*log10(sigPower/noisePower)             %由信噪比定义求出信噪比，单位为db

由此可见，计算信噪比的方式为SNR=10*log10(sigPower/noisePower)

2）matlab的官方文档³

$$\mathrm{E}\mathrm{s}\mathrm{N}0(dB)=EbN0(dB)+10{\log }_{10}(K)$$

3.2 EbN0和SNR两者的关系

EsN0与SNR的关系如下
$$EsN0=S\ast T/(N/B)=S/N\ast T_{symbol}\ast B$$
下面讨论仿真中的一些想法：

• 在实际的信号传输过程中，讨论的是信噪比SNR。如果不进行滤波成型，那么两者一致，但是在实际的通信系统中，考虑无ISI准则一级硬件实现的代价，往往发送端需要成型滤波，在接收端需要进行成型滤波最大化接受信号的信噪比，这就需要过采样。实际上这个过程增大了信号的EsN0，提升了性能。
• 比较容易理解的是，在相同的SNR之下，如果信号被过采样，则等效于EbN0更高，EsN0也更高。
• 同时需要注意在成型滤波时产生的能量损失，损失sqrt(insvalue)。（insvalue代表采样倍数）

3.3 成型滤波与匹配滤波器对噪声的影响

下面讨论仿真中的一些想法：

• 同样需要特别注意的是成型滤波和匹配滤波给信噪比带来的影响。上面说成型滤波和上采样提升了EsN0，最后SNR和EsN0呈现上述关系。但是匹配滤波之后同样会改变信噪比。
• 如果是使用滤波前后的信号计算信噪比，那么无疑是不对的，因为滤波会改变频谱自然会对信号产生影响，最终变成什么样也是不好预测的。
• SNR是显性的，代表着真实的信道环境，而估计出来的EsN0是真实的每个符号所对应的信噪比。

4 EbNo与SNR之间的关系⁴

4.1 两个问题

Q1：为什么要将EbN0转换为SNR呢？
A1：因为在实际仿真中要给信号加上高斯白噪声，而高斯白噪声的参数是与SNR直接相关的，即根据SNR变量，可以直观的给信号加上高斯白噪声，所以要将EbN0转换为SNR。一般而言，模拟系统常采用SNR_{BER来衡量通信系统性能，而对于数字通信系统，常采用EbN0}BER来衡量通信系统的性能。
Q2：为什么仿真要用EbN0，而不用SNR呢？
A2：因为用EbN0可以直观的看到系统性能，EbN0是一个归一化的参量，由于在系统传输中会采用不同的调制技术，这样这不同进制的调制技术下频谱效率会不同，一个由k个比特映射生成的调制符号所实现的频谱效率就为k bit/s/Hz，这种情况下，在计算比特误码率的时候考虑的是整体的性能，如果横向的比较系统的性能，就要将系统效率的作用排除，此时就可以从单个比特着手去比较，EbN0可以排除频谱效率引起的问题。

4.2 示例分析

假如用户的数据传送速率为1kb/s，信道编码采用编码速率为1/3的卷积编码，每秒在这些编码数据前添加200bit的训练序列，星座映射采用QPSK调制方式，基带脉冲成型采用因子为alpha等于0.25的升余弦函数，上采样倍数为10。
首先来看一下经过各模块后数据速率的变化，原始信息速率为1kb/s，1/3卷积编码后变为3kb/s，也就是每秒传送3000bit数据，添加200bit的训练序列后，变为每秒传3200bit，此时数据速率变为3.2kb/s，采用QPSK调制后，速率变为1.6k symbol/s。
应用上述EbN0与SNR的转换公式，我们可得：
SNR=EbN0·(1/3)·(3000/3200)·log2(4)·(1/10)·(1/(1+0.25))
用dB表示，就是：
SNR(dB)=EbN0(dB)+10·log10(1/3)+10·log10(3000/3200) +10·log10(2)+10·log10(1/10)+10·log10(1/(1+0.25))
以上的公式中，1/3是卷积码引入的，3000/3200是因为添加了训练序列这个额外的开销而引入的，2是QPSK引入的，1/10是基带成型滤波前上采样引入的，1/(1+0.25)是基带脉冲成型滤波的升余弦函数因子引入的。
一般很容易忘记考虑训练序列或者保护间隔，一般影响不大，本例中10·log（3000/3200）接近0，但其他各项影响都很大，如果仿真结果性能超好，应该看看是否忘记哪项了。如果系统还进行了扩频，比如添加训练序列后进行了16倍扩频，那么还要考虑扩频增益带来的影响，此时，在转化为SNR时，EbN0应该还要加上10·log（1/16）。

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1. https://blog.csdn.net/chenxingp123/article/details/24238509 ︎

2. https://blog.csdn.net/chenshiming1995/article/details/105465014 ︎

3. SNR、EbN0、EsN0的关系以及matlab仿真时添加AWGN噪声 ︎

4. 张少侃 EbN0与SNR转化新解 ︎