一.基础知识
1.查找——散列结构——散列表/哈希表
2.同义词：不同的关键字通过散列函数映射到同一个值，它们为“同义词”

3.冲突：该位置已经存放了元素，这就产生了冲突
4.解决冲突：拉链法/链地址法
将同义词存储在链表中

对于同义词各个关键字之间可以乱序（蓝色竖着），但如果进行排序，对链表进行顺序查找时会提高查找效率

二.散列查找
给出散列函数H(key)=key%13
给出关键字{19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79}
14%13=1，放在1号框，其他同理

（1）查找55
55%13=3，在3号框往下找，依次找到68，55，查找成功，查找长度为2
注：
查找长度：对比次数
（2）查找21
21%13=8，8号位为空，查找失败
查找长度：0
注：对比0次
（3）查找66
66%13=1，在1号框往下找，依次找到14，1，27，79，查找失败
查找长度：4
注：对比4次

三.效率分析ASL

ASL_成功=(1×6+2×4+3+4)/12=1.75（横向计算）
ASL_成功=[(1+2+3+4)+(1+2)+(1+2)+…]/12=1.75（竖着计算）
注：可以发现，每个框一个关键字时，效率最高
ASL_min=(1+1+1+…+1)/12=1
因此要尽可能的减少冲突

一个个框看查找长度（对比次数），一共13个框
ASL_失败=(0+4+0+2+0+0+2+1+…)/13=0.92
可以看到，分子为蓝色框之和，分母为表长
即：ASL_失败=表中记录数/散列表长度
我们称α为装填因子，α=表中记录数/散列表长度
显然：装填因子直接影响散列表的查找效率，为了提高查找效率，设计合理的散列函数就显得十分重要

四.常见的散列函数
设计目标：让不同关键字的冲突尽可能少

1.除留余数法H(key)=key%p
m：散列表表长
p：一个不大于m的最大质数（通常情况下，具体问题具体分析）
质数/素数：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。如：2、3、5、7

举例：
表长m=13，p取13
表长m=15，p取13

2.直接定址法
H(key)=key或H(key)=a*key+b
其中a和b为常数
优势：不会产生冲突
缺点：占用空间过大
适合：关键字分布基本连续，否则会浪费空间
举例：存储一个班级同学的学生信息
每个学号和1120112176作差，得到0,1,2,3…

3.数字分析法
适合：分布均匀
举例：手机号
在某些位上分布均匀，某些位上分布不均匀
可以将手机号后四位作为散列地址


4.平方取中法
关键字平方，然后取中间几位
适合：关键字每位取值都不够均匀或均小于散列地址所需位数
举例：存储身份证号
身份证号平方，然后取中间5位
这样分布就比较均匀（≠不冲突）


总结

五.解决冲突的另一个方法：开放定址法

H_i=(H(key)+d_i)%m
i=0,1,2,3,…,k (k≤m-1)
m：表长
d_i：增量序列
i：第i次发生冲突

（一）线性探测法

1.基本概念

d_i=0,1,2,3,…,m-1

插入1，H(key)=1%13=1发生冲突
表长m=16
H₀=(1+d₀)%16=1依然冲突
继续计算H₁=(1+d₁)%16=2
成功放入
这表示空闲地址既向它的同义词开放，也向它的非同义词开放

继续，企图放入84

H(key)=84%13=6冲突
H₁=(6+1)%16=7冲突
H₂=(6+2)%16=8成功放入

放入27

H(key)=27%13=1冲突
H₁=(1+1)%16=2冲突
H₂=(1+2)%16=3冲突
H₃=(1+3)%16=4成功放入

其他同理，如果再想放入25

H(key)=25%13=12冲突
H₁=(12+1)%16=13成功放入

如果再想放入数据，最大到表长15
H_i=(H(key)+d_i)%16
即：冲突处理函数值域为[0,15]

对于散列函数H(key)=key%13
散列函数值域[0,12]

2.查找操作

（1）查找27
27%13=1，匹配失败
H₁=2，匹配失败
H₂=3，匹配失败
H₃=4，匹配成功
查找长度：4

（2）查找11
11%13=11，匹配成功
查找长度：1

（3）查找21
21%13=8匹配失败
H₁=9匹配失败
H₂=10匹配失败
H₃=11匹配失败
H₄=12匹配失败
H₅=13匹配失败
与拉链法的空指针不同，这里空白处也记一个元素，与空位置相比也算一次比较
查找长度：6

（4）查找21
21%13=8匹配失败
H₁=9匹配失败
H₂=10匹配失败
对比完空位置，查找结束
查找长度：3

3.删除操作

删除1，1空出，想要查找27时
27%13=1匹配失败
H₁=2匹配是吧，遇到空白结束
未成功找到4号位的27


因此在删除1后需要告诉计算机1位置有东西（做一个删除标记，进行逻辑删除），查找时还需要继续往后找

缺点：删除元素过多时还需要一个个对比
查找79
79%13=1
H₁、H₂…H₉成功
8次冲突，对比关键字9次

4.查找效率分析ASL

ASL_成功=(1+1+1+2+4+1+1+3+3+1+3+9)/12=2.5


查找失败需要走到底
初次探测地址H₀只能在[0,12]
要查找的关键字映射到0的位置：需要对比1次
要查找的关键字映射到1的位置：需要对比13次
…
要查找的关键字映射到12的位置：需要对比2次
ASL_失败=(1+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2)/13=7

注：若用mod表示key%13中的13
这里的分子的个数是mod（从0~mod-1）,分母的值也是mod；而查找成功的分母为元素个数（12）

例：现有长度为 11 且初始为空的散列表 HT，散列函数是 H(key) = key % 7，采用线性探查 （线性探测再散列）法解决冲突。将关键字序列 87, 40, 30, 6, 11, 22, 98, 20 依次插入 HT 后， HT 查找失败的平均查找长度是 ：(9+8+7+6+5+4+3)/7=6

（二）平方探测法

1.基本概念
d_i=0,1,-1,4,-4,9,-9

表长27
（1）插入19
19%13=6，冲突
H₁=(6+1)%27=7成功插入
（2）插入32
32%13=6，冲突
H₁=(6+1)%27=7冲突
H₂=(6-1)%27=5成功插入

插入84
84%13=6
H₁=7冲突
H₂=5冲突
H₃=10冲突
H₄=2冲突
H₅=(6+9)%27=15冲突
H₆=(6-9)%27=(-3)%27=24
注：(-3)=(-1)×27+24
mod也把表看成循环表，6往左移动9位，5,4,3,2,1,0,26,25,24

插入成功

2.查找

查找71

71%13=6匹配失败
H₁=7匹配失败
H₂=5匹配失败
H₃=10匹配失败
H₄=2匹配失败
H₅=15匹配成功

3.其他
平方探测法散列表的长度m必须可以表示成4j+3的素数，才能探测到所有位置
如：m=4×1+3=7可以
m=8不可以

（三）伪随机序列法

d_i是一个伪随机序列

如：d_i=0,5,24,11…
举例：

总结

六.再散列法

除了原始的散列函数H(key)之外，多准备几个散列函数，当散列函数冲突时，用下一个散列函数计算一个新地址，直到不冲突为止
H_i=RH_i(key)
i=1,2,3,…,k