请编写一个程序，实现对于给定的正整数N，依次打印出小于等于N的所有素数。

方法一：试除法

由素数的定义得到如下程序：

#include

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int i = 0;

for (i = 2; i <= num; i++)

{

int j = 0;

for (j = 2; j < i; j++)

{

if (i%j == 0)

{

break;

}

}

if (i==j)

{

printf("%d\t",i);

}

}

}

int main()

{

int num;

printf("请输入一个正整数：");

scanf("%d", &num);

if (num > 1)

{

printf("打印出所有的素数：");

print_prime(num);

}

else

{

printf("不存在小于等于%d的素数", num);

}

printf("\n");

return 0;

}

上面的代码中，在判断素数时一直从2试除到n－1。这里从n／2之后的数到n－1的试除显然是多余的，比如正整数7不能被2整除，必然不能被4,6整除。

优化1:

试除的范围优化到［2，n／2］，则工作量减少一半，代码如下：

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int i = 0;

for (i = 2; i <= num; i++)

{

int j = 0;

for (j = 2; j <= i/2; j++)//修改部分

{

if (i%j == 0)

{

break;

}

}

if (j == (i/2+1))//修改部分

{

printf("%d\t", i);

}

}

}

既然能将试除范围优化到［2，n/2］，那么这个范围是不是还能继续优化呢？答案是肯定的，在［2，n/2］这个范围里(√n，n／2］的试除也是多余的。因为因数是成对出现的，如16可分解为：1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。故只需试除小于等于√n的数就可以了。

优化2:

试除范围优化为［2，√n］，代码如下：

#include

#include//修改部分

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int i = 0;

for (i = 2; i <= num; i++)

{

int j = 0;

for (j = 2; j <=sqrt(i); j++)//修改部分

{

if (i%j == 0)

{

break;

}

}

if (j > sqrt(i))//修改部分

{

printf("%d\t", i);

}

}

}

上面所有的代码在找素数的时候是从2到n，在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数，所以可以跳过这些偶数。

还有试除范围内除了2之外的偶数也是没有必要的，因为如果不能被2整除，必然不能被大于2的偶数整除。

优化3：

寻找素数时和试除范围内跳过除2之外的偶数。代码如下：

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int i = 0;

printf("%d\t", 2);//修改部分

for (i = 3; i <= num; i+=2)//修改部分

{

int j = 2;

for (j = 3; j <= sqrt(i); j+=2)//修改部分

{

if (i%j == 0)

{

break;

}

}

if (j > sqrt(i))

{

printf("%d\t", i);

}

}

}

在上面的代码中，试除范围内的一些数也是不必要的。比如判断101是否为素数时，要分别试除小于10的2和所有奇数，即2、3、5、7、9，其中对9的试除是不必要的。即对所有的非素数的试除是不必要的，因为非素数必然可分解为比它小的素数的乘积，既然它的质因数不能整除某个数，这个数必然也不能。故试除的范围可缩小到小于等于√n的所有素数。

优化4:

只试小于√n的素数，那么问题来了，要试除这些素数时必然要将前面求出的素数保存起来，开辟多大一块空间合适呢？因为n的大小未知，所以无法确定开辟多少空间。这里暂时没有完全解决的办法，我的做法是先开辟大小为1000的空间，需要时再修改。

#include

#include

#define MAX 1000  //定义数组的大小

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int arr[MAX] = { 0 };

int i = 0,j=1;

printf("%d\t", 2);

arr[0] = 2;

for (i = 3; i <= num; i += 2)

{

int k = 0;

while (arr[k]>0&&arr[k]<=sqrt(i))

{

if (i%arr[k] == 0)

{

break;

}

k++;

}

if (!arr[k]||(arr[k] > sqrt(i)))

{

printf("%d\t", i);

arr[j] = i;

j++;

}

}

}

int main()

{

int num;

printf("请输入一个正整数：");

scanf("%d",&num);

if (num > 1)

{

printf("打印出所有的素数：");

print_prime(num);

}

else

{

printf("不存在小于等于%d的素数",num);

}

printf("\n");

return 0;

}

方法二：筛选法

这种方法求素数的思想就是，不断筛去最小的数的倍数。这个最小的数必然是素数。

比如最小的素数是2，去掉所有2的倍数；接下来最小的数是3，3就是素数，去掉所有的3的倍数；依次类推，直到最小的数小于等于√n为止。为什么是√n呢？ 在上面的试除法中讲到只要试除小于等于√n的所有素数即可判断出小于等于n的所有素数，这里同样适用，只要去掉所有的小于等于√n的所有数的倍数，剩下的数就是小于等于n的所有素数。

代码如下：

#include

#include

#define MAX 1000  //定义数组的大小

int print_prime(int num)//prime表示素数

{

int arr[MAX] ;

int i = 0,j=0;

for (i = 0; i < num - 2; i++)//初始化数组[2,num]

{

arr[i] = i + 2;

}

while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围

{

for (i = j + 1; i < num - 1; i++)

{

if (arr[i]%arr[j] ==0)//筛去arr[i]的倍数

{

arr[i] = 0;

}

}

j++;

while(!arr[j])//确定最小数

{

j++;

}

}

for (i = 0; i < num - 1; i++)

{

if (arr[i])

{

printf("%d\t",arr[i]);

}

}

}

int main()

{

int num;

printf("请输入一个正整数：");

scanf("%d",&num);

if (num > 1)

{

printf("打印出所有的素数：");

print_prime(num);

}

else

{

printf("不存在小于等于%d的素数",num);

}

printf("\n");

return 0;

}

上面的代码有一个很明显的缺陷就是开辟空间过大，如何来解决这个问题呢？

上述代码所开辟的空间为int型，占用4个字节，占用空间太多，可以构造一个bool型数组，bool型是一个基本的数据类型，占1个字节，以下标来存储数据，节省了75%的空间。

优化：

构造bool型数组，以下标来存储数据,每个数只占一个字节。

代码如下：

#include

#include

#include

#define MAX 1000  //定义数组的大小

void print_prime(int num)//prime表示素数

{

bool arr[MAX] ;

int i = 0,j=2;

for (i = 0; i

{

arr[i] = 1;

}

while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围

{

for (i = j + 1; i <= num ; i++)

{

if (i%j ==0)//筛去arr[i]的倍数

{

arr[i] = 0;

}

}

j++;

while(!arr[j])//确定最小数

{

j++;

}

}

for (i = 2; i <=num ; i++)//打印素数

{

if (arr[i])

{

printf("%d\t",i);

}

}

}

int main()

{

int num;

printf("请输入一个正整数：");

scanf("%d",&num);

if (num > 1)

{

printf("打印出所有的素数：");

print_prime(num);

}

else

{

printf("不存在小于等于%d的素数",num);

}

printf("\n");

return 0;

}

结果1：

请输入一个正整数：9

打印出所有的素数：2     3       5       7

请按任意键继续. . .

结果2：

请输入一个正整数：1

不存在小于等于1的素数

请按任意键继续. . .