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资产组合理论(1)

资产组合的可行集

建立预期收益率$E(R_p)-{\sigma }_p$坐标系，如果投资者选择了所有可能的投资比例，则这些资产组合点将在坐标系上构成一个区域，该区域被称为可行集或可行域.

有效集

在理性人假设下，投资者是风险厌恶的，在一定收益下，投资者将选择风险最小的投资组合；子一定风险下，投资者将选择收益最大的资产组合，同时满足这两个条件的资产集合就是有效集或者有效边界，位于有效边界的资产组合就是有效组合.

最优资产组合

满足投资者无差异曲线和有效集的切点就是最优组合点.

模型求解

最小方差资产组合

在一定预期收益率$\mu$下，选择资产组合使其风险最小，即求解如下形式问题
$$\begin{gathered} \min \frac{1}{2}{\sigma }_p^2=\frac{1}{2}{w\text{w}w}^{T}V\text{V}Vw\text{w}w \\ s.t.\{\begin{array}{ll}& 1^{T}w\text{w}w=1\\ & E(R_p)={w\text{w}w}^{T}E(\mathbf{R})\ge \mu \end{array} \end{gathered}$$
使用Lagrange乘数法求解，构造广义目标函数$L$
$$L=\frac{1}{2}{w\text{w}w}^{T}V\text{V}Vw\text{w}w+{\lambda }_1(1-{w\text{w}w}^{T}1)+{\lambda }_2(\mu -{\mathbf{w}\text{w}\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}\mathbf{E}(\mathbf{R}))$$
求出一阶条件为
$$\{\begin{array}{rl}& L_w=V\text{V}Vw\text{w}w-{\lambda }_{2}E(R\text{R}R)-{\lambda }_{2}1=0\\ & L_{{\lambda }_1}=1-1^{T}w\text{w}w=0\\ & L_{{\lambda }_2}=\mu -E(\mathbf{R}{)}^{T}w\text{w}w=\mu -E({\mathbf{R}}_p)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
可以解出
$$\begin{array}{rl}& {w\text{w}w}^{\ast }={V\text{V}V}^{-1}({\lambda }_{1}1+{\lambda }_{2}E(\mathbf{R}))\\ & 1={\lambda }_1{1}^T{\mathbf{V}}^{-1}1+{\lambda }_2{1}^T{\mathbf{V}}^{-1}E(\mathbf{R})\\ & \mu ={\lambda }_{1}E(\mathbf{R}{)}^T{\mathbf{V}}^{-1}1+{\lambda }_{2}E(\mathbf{R}{)}^T{\mathbf{V}}^{-1}E(\mathbf{R})\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
令
$$\begin{array}{rl}& a=1^T{\mathbf{V}}^{-1}1\\ & b=1^T{\mathbf{V}}^{-1}E(\mathbf{R})\\ & c=E(\mathbf{R}{)}^T{\mathbf{V}}^{-1}E(\mathbf{R})\\ & \Delta =ac-b^2\end{array}$$
解出方程组$(2)$为
$$\begin{array}{r}{\lambda }_1=\frac{c-\mu b}{\Delta }\\ {\lambda }_2=\frac{\mu a-b}{\Delta }\end{array}$$
将${\lambda }_1$和${\lambda }_2$代入方程组$(2)$可以得到最小方差资产组合权重
$$\begin{array}{rl}{w\text{w}w}^{\ast }& ={V\text{V}V}^{-1}[\frac{(c-\mu b)1}{\Delta }+\frac{(\mu a-b)E(R\text{R}R)}{\Delta }]\\ & =\frac{{V\text{V}V}^{-1}(c1-bE(\mathbf{R}))}{\Delta }+\mu \frac{aE(\mathbf{R})-b1}{\Delta }\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
将${w\text{w}w}^{\ast }$代入目标函数，得到最小组合方差为
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_p^2& ={w\text{w}w}^{T}V\text{V}Vw\text{w}w=w\text{w}wV\text{V}V({\lambda }_1{V\text{V}V}^{-1}1+{\lambda }_2{\mathbf{V}}^{-1}E(\mathbf{R}))\\ & ={\lambda }_1+\mu {\lambda }_2\\ & =\frac{a{\mu }^2-2\mu b+c}{\Delta }\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
注意到在求解过程中需要进行矩阵求逆的计算，时间复杂度为$\mathcal{O}(n^3)$.

案例

一个资产组合，其预期收益率矩阵为$E(\mathbf{R})=[0.05,0.1]$，协方差矩阵是$\mathbf{V}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，预期收益率为$0.075$，求最小方差资产组合的权重和方差.

解析

根据公式计算组合参数
$$\{\begin{array}{rl}& a=1^{T}V\text{V}V1=[1,1]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\\ & b=1^T{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})=[1,1]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.05\\ 0.1\end{array}\right]\\ & c=E(\mathbf{R}{)}^{T}V\text{V}VE(\mathbf{R})=[0.05,0.1]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.05\\ 0.1\end{array}\right]\\ & \Delta =ac-b^2\end{array}$$
求出最小方差权重${w\text{w}w}^{\ast }$的表达式
$${w\text{w}w}^{\ast }=\frac{{V\text{V}V}^{-1}(c1-bE(\mathbf{R}))}{\Delta }+\mu \frac{aE(\mathbf{R})-b1}{\Delta }$$

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_weight(E, R, V, mu):
    V=inv(V)
    a=dot(E, dot(V, E))
    b=dot(E, dot(V, R))
    c=dot(R, dot(V, R))
    D=a*c-b**2
    return (dot(V, (c*E-b*R)))/D+mu/D*(dot(V, a*R-b*E))

def main():
    E=np.ones(2)
    R=np.array([0.05, 0.1])
    V=np.eye(2)
    mu=0.075
    w=portfolio_weight(E, R, V, mu)
    print('weight of min variance {}'.format(w))
    
main()

全局最小方差

根据方差和期望的公式
$${\sigma }_p^2=(a{\mu }^2-2b\mu +c)/\Delta$$
求出极值点
$$\begin{gathered} \frac{\partial {\sigma }_p^2}{\partial \mu }=\frac{2a\mu -2b}{\Delta }=0 \\ \mu =\frac{b}{a} \end{gathered}$$
得到全局最小方差为
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{a}$$
分解最小方差权重${w\text{w}w}^{\ast }$
$$\begin{array}{rl}{w\text{w}w}^{\ast }& ={V\text{V}V}^{-1}({\lambda }_{1}1+{\lambda }_{2}E(\mathbf{R}))\\ & ={\lambda }_1{V\text{V}V}^{-1}1+{\lambda }_2{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})\\ & =\frac{{V\text{V}V}^{-1}1}{a}+\frac{{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})}{b}\\ & =\frac{{V\text{V}V}^{-1}1}{1^T{V\text{V}V}^{-1}1}+\frac{{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})}{1^T{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})}\\ & =({\lambda }_{1}a){w\text{w}w}_g+({\lambda }_{2}b){w\text{w}w}_d\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中${w\text{w}w}_d$为可分散的资产组合权重.

案例

一个资产组合，其预期收益率矩阵为$E(\mathbf{R})=[0.2,0.5{]}^T$，协方差矩阵为$V\text{V}V=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$求全局最小方差组合和可分散资产组合权重.

解析

根据公式$(5)$可以计算出
$$\begin{array}{rl}& {w\text{w}w}_g=\frac{{V\text{V}V}^{-1}1}{1^T{\mathbf{V}}^{-1}1}\\ & {w\text{w}w}_d=\frac{{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})}{1^T{V\text{V}V}^{-1}E(\mathbf{R})}\end{array}$$
全局最小方差时${w\text{w}w}^{\ast }={w\text{w}w}_g$

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_global_weight(E, R, V):
    V=inv(V)
    wg=dot(V, E)/dot(dot(E, V), E)
    wd=dot(V, R)/dot(dot(E, V), R)
    return (wg, wd)

def main():
    E=np.ones(2)
    R=np.array([0.2, 0.5])
    V=np.eye(2)
    w=portfolio_global_weight(E, R, V)
    print('weight of global min variance {}'.format(w[0]))
    print('dispersible assert weight is {}'.format(w[1]))
    
main()