1.掌握并查集的合并优化和查询优化
2.掌握Kruskal算法
3.能够针对实际问题,能够正确选择贪心策略
4.能够针对选择的贪心策略,证明算法的正确性
5.能够正确分析算法的时间复杂度和空间复杂度
采用Kruskal算法生成最小生成树,并采用并查集的合并优化和查询优化。
使用Kruskal算法解决稀疏图解决最小生成树问题效率较高,并使用并查集这种数据结构实现了isConnected()和unionElements()两种功能进行了路径压缩的功能,降低了代码的时间复杂度,提高了代码的运行速率。
在编写此程序时,我们必须非常熟悉Kruskal算法。 Kruskal算法总共选择n-1个边。 使用的贪婪标准是:选择一条成本最低的边线,该边线不会从其余边线生成循环,并将其添加到所选边线集合中。 然后根据该算法与C 语言一起练习出来,程序又长又复杂,需要更多的接触算法,以后的时间也有更多的练习
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#define MAXSIZE 100
typedef int Weight;
typedef char Datatype;
typedef struct AdjVNode{
Weight weight;
int adjv;
struct AdjVNode *Next;
}*PtrToAdjVNode;
typedef struct Vnode{
Datatype data;
PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
}AdjList[MAXSIZE];
typedef struct Lnode{
int Nv;
int Ne;
AdjList G;
}*LGraph;
typedef struct Enode{
int v1;
int v2;
Weight weight;
//bool flag;//true -> false ->
}Edge;
LGraph CreateGraph(int n){
LGraph Graph=(LGraph)malloc(sizeof(struct Lnode));
Graph->Nv=n;
Graph->Ne=0;
for(int i=0;i<n;i++){
Graph->G[i].FirstEdge=NULL;
}
return Graph;
}
void InsertEdge(LGraph Graph,const Edge *ptre){
PtrToAdjVNode Newnode=(PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
Newnode->weight=ptre->weight;
Newnode->adjv=ptre->v2;
Newnode->Next=Graph->G[ptre->v1].FirstEdge;
Graph->G[ptre->v1].FirstEdge=Newnode;
//若是无向边
Newnode=(PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
Newnode->weight=ptre->weight;
Newnode->adjv=ptre->v1;
Newnode->Next=Graph->G[ptre->v2].FirstEdge;
Graph->G[ptre->v2].FirstEdge=Newnode;
}
LGraph buildGraph(){
LGraph Graph;
Edge E;
int V;
int Nv, i;
scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */
scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) {
/* 如果有边 */
/* 读入边,格式为"起点 终点 权重",插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E.v1, &E.v2, &E.weight);
/* 注意:如果权重不是整型,Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, &E );
}
}
/* 如果顶点有数据的话,读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->G[V].data));
return Graph;
}
/*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/
typedef Edge Ele;
const Ele ERROR={
-1,-1,-1};
typedef struct heap{
Ele *data;
int size;
int maxsize;
}*MinHeap;
MinHeap createMinHeap(int n){
MinHeap minheap=(MinHeap)malloc(sizeof(struct heap));
minheap->data=(Ele*)malloc(sizeof(Ele)*(n+1));
minheap->size=0;
minheap->maxsize=n;
return minheap;
}
bool isfull(MinHeap heap){
return heap->size>=heap->maxsize;
}
bool isempty(MinHeap heap){
if(heap==NULL)
heap->size =5;
return heap->size<=0;
}
void InsertMinHeap(MinHeap heap,Ele e){
if(isfull(heap))
return;
heap->size++;
int i;
for(i=heap->size;i>1&&e.weight<heap->data[i/2].weight;i/=2)
heap->data[i]=heap->data[i/2];
heap->data[i]=e;
}
Ele DelMinHeap(MinHeap heap){
if(isempty(heap))
return ERROR;
Ele min=heap->data[1];
Ele tmp=heap->data[heap->size--];
int i=0,childmin;
for(i=1;2*i<=heap->size;i=childmin)
{
childmin=2*i;
if(childmin!=heap->size&&heap->data[childmin].weight>heap->data[childmin+1].weight)
childmin++;
if(tmp.weight<=heap->data[childmin].weight)break;
heap->data[i]=heap->data[childmin];
}
heap->data[i]=tmp;
return min;
}
void PercDown(MinHeap heap, int p){
Ele tmp = heap->data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
int i=p,childmin;
for(;2*i<=heap->size;i=childmin)
{
childmin=2*i;
if(childmin!=heap->size&&heap->data[childmin].weight>heap->data[childmin+1].weight)
childmin++;
if(tmp.weight<=heap->data[childmin].weight)break;
heap->data[i]=heap->data[childmin];
}
heap->data[i]=tmp;
}
MinHeap buildMinHeap(Ele e[],int n){
MinHeap heap=createMinHeap(n);
heap->size=n;
for(int i=0;i<n;i++)
heap->data[i]=e[i];
for(int i=n/2;i>0;i--)
PercDown(heap,i);
return heap;
}
/*-------------------- 边的最小堆定义end --------------------*/
/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
typedef int ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef int SetName; /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MAXSIZE]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
void InitializeVSet( SetType S, int N )
{
/* 初始化并查集 */
int X;
for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;
}
void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{
/* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
/* 保证小集合并入大集合 */
//if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */
// S[Root2] += S[Root1]; /* 集合1并入集合2 */
//S[Root1] = Root2;
//}
//else { /* 如果集合1比较大 */
// S[Root1] += S[Root2]; /* 集合2并入集合1 */
//S[Root2] = Root1;
//}
S[Root2]=Root1;
}
SetName Find( SetType S, ElementType X )
{
/* 默认集合元素全部初始化为-1 */
if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */
return X;
else
return Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */
}
bool CheckCycle( SetType VSet, int V1, int V2 )
{
/* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */
int Root1, Root2;
Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */
Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */
if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通,则该边不能要 */
return false;
else {
/* 否则该边可以被收集,同时将V1和V2并入同一连通集 */
Union( VSet, Root1, Root2 );
return true;
}
}
MinHeap InitializeESet(LGraph Graph){
PtrToAdjVNode W;
Edge edge;
MinHeap edgeheap=createMinHeap(Graph->Ne);
for (int V=0; V<Graph->Nv; V++ )
for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
if ( V<W->adjv) {
/* 避免重复录入无向图的边,只收V1<V2的边 */
edge.v1 = V;
edge.v2 = W->adjv;
edge.weight=W->weight;
//printf("abc %d ",edge.weight );
InsertMinHeap(edgeheap,edge);
}
return edgeheap;
}
Edge GetEdge( MinHeap edgeheap){
return DelMinHeap(edgeheap);
}
/*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/
int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )
{
/* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST,返回最小权重和 */
Weight TotalWeight;
int ECount;
SetType VSet; /* 顶点并查集 */
MinHeap edgeheap=NULL; /* 边的最小堆 */
// printf("%p ",edgeheap );exit(0);
Edge NextEdge;
InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */
edgeheap=InitializeESet( Graph ); /* 初始化边的最小堆 */
/* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
MST = CreateGraph(Graph->Nv);
TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */
ECount = 0; /* 初始化收录的边数 */
while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {
/* 当收集的边不足以构成树时 */
NextEdge = GetEdge( edgeheap ); /* 从边的最小堆de到最小边 */
//printf("%d ", NextEdge.weight);
if (NextEdge.v1==-1) /* 边集已空 */
break;
/* 如果该边的加入不构成回路,即两端结点不属于同一连通集 */
if ( CheckCycle( VSet, NextEdge.v1, NextEdge.v2 )==true ) {
/* 将该边插入MST */
InsertEdge( MST, &NextEdge);
printf("%d<->%d weight:%d collected ",NextEdge.v1,NextEdge.v2,NextEdge.weight);
TotalWeight += NextEdge.weight; /* 累计权重 */
ECount++; /* 生成树中边数加1 */
}
}
if ( ECount < Graph->Nv-1 )
TotalWeight = -1; /* 设置错误标记,表示生成树不存在 */
return TotalWeight;
}
int main(){
LGraph Graph=buildGraph();
LGraph MST;
printf("------------------------------------------- ");
printf("TotalWeight %d",Kruskal(Graph,MST));
return 0;
}
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