海伦公式的证明——杨子曰数学_如何用三角函数证明海伦公式-程序员宅基地

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海伦公式的证明——杨子曰数学

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瞎BB:我之所以会推这样一篇博客是为了练习一下MarkDown数学公式的语法
再瞎BB一句:不要一提到海伦,脑子里就浮现出一个女人的画面,这里的海伦是一个男的!男的!男的!


相信大家在刚刚开始打代码,懵懂无知的时候一定打过一道题叫海伦公式——输入三角形三条边输出三角形的面积(说没打过的你够了),那大家有没有一颗好奇的心(没有)思考过为什么海伦公式是正确的呢?
我在这里给大家提供一种相对比较简单的证明方法,你只要有一点点的三角函数基础,知道余弦定理,会一点点的代数就可以证明了,然后你就可以像我一样四处装逼
黑喂狗:


S △ A B C = 1 2 a b sin ⁡ c S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab \sin c SABC=21absinc
S △ A B C = 1 2 a b 1 − cos ⁡ 2 c ( s i n 2 α + c o s 2 α = 1 ) S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2 c}(sin^2α+cos^2α=1) SABC=21ab1cos2c sin2α+cos2α=1
S △ A B C = 1 2 a b 1 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 ( 余 弦 定 理 ) S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}(余弦定理) SABC=21ab14a2b2(a2+b2c2)2 ()
S △ A B C = 1 2 a b ( 2 a b ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}} SABC=21ab4a2b2(2ab)2(a2+b2c2)2
S △ A B C = a 2 b 2 4 ∗ ( 2 a b ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 S_{△ABC}=\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}*\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}} SABC=4a2b24a2b2(2ab)2(a2+b2c2)2
S △ A B C = ( 2 a b − a 2 − b 2 + c 2 ) ( 2 a b + a 2 + b 2 − c 2 ) 16 ( 平 方 差 公 式 ) S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{16}}(平方差公式) SABC=16(2aba2b2+c2)(2ab+a2+b2c2)
S △ A B C = ( − ( a − b ) 2 + c 2 ) ( ( a + b ) 2 − c 2 ) 16 ( 完 全 平 方 公 式 ) S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(-(a-b)^2+c^2)((a+b)^2-c^2)}{16}}(完全平方公式) SABC=16((ab)2+c2)((a+b)2c2)
S △ A B C = ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( a + b + c ) 16 ( 平 方 差 公 式 ) S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{16}}(平方差公式) SABC=16(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(a+b+c)
S △ A B C = − a + b + c 2 ∗ a − b + c 2 ∗ a + b − c 2 ∗ a + b + c 2 S_{△ABC}=\sqrt{\frac{-a+b+c}{2}*\frac{a-b+c}{2}*\frac{a+b-c}{2}*\frac{a+b+c}{2}} SABC=2a+b+c2ab+c2a+bc2a+b+c
S △ A B C = ( p − a ) ∗ ( p − b ) ∗ ( p − c ) ∗ p S_{△ABC}=\sqrt{(p-a)*(p-b)*(p-c)*p} SABC=(pa)(pb)(pc)p

得证

可以说一下是怎么想到这样证明的:首先先要三角形的面积公式中于边有最密切关系的就是 S △ A B C = 1 2 a b sin ⁡ c S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab \sin c SABC=21absinc但是有一个三角函数很碍事,So,我们考虑到能把三角函数变成边长的只有余弦定理,那我们就用 s i n 2 α + c o s 2 α = 1 sin^2α+cos^2α=1 sin2α+cos2α=1把正弦化成余弦,于是整个式子就只剩边长了,Then,我们就开始算呀算呀算,最后就化成了海伦公式

OK,完事
于XJ机房607

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